33. Применение формулы Тейлора к приблизительным вычислениям
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:
Если подставить в эту формулу выражение
то получим приближенную формулу:
34. Условие монотонности функции на промежутке
Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.
(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция
непрерывна
на (a,b),
и имеет в каждой точке
производную
f'(x).
Тогда
f
возрастает на (a,b)
тогда и только тогда, когда
f
убывает на (a,b)
тогда и только тогда, когда
(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда
если
то
f
строго возрастает на (a,b);
если
то
f
строго убывает на (a,b).
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место
(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть
и
всюду на интервале определена производная
f'(x).
Тогда f
строго возрастает на интервале (a,b)
тогда и только тогда, когда выполнены
следующие два условия:
Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
35. Условие экстремума функции в точке
Пусть функция
определена
в некоторой окрестности
,
,
некоторой точки
своей
области определения. Точка
называется
точкой локального максимума, если в
некоторой такой окрестности
выполняется
неравенство
(
),
и точкой локального минимума, если
.
Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.
Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .
Если точка
--
это точка локального экстремума функции
,
и существует производная в этой точке
,
то
.
Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).
Утверждение теоремы можно переформулировать так:
если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо 1) , либо 2) производная не существует.
Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .
Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.