- •3.1 Появление определителей в теории слау
- •3.2 Отображения
- •3.3 Перестановки n-ой степени
- •3.4 Четные и нечетные перестановки
- •3.5 Суммирование по множеству
- •3.6 Определитель n-го порядка
- •3.7 Свойства определителя
- •3.8 Теорема Лапласа
- •3.9 Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •Определитель произведения матриц
- •Формула обратной матрицы
- •Теорема Крамера
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
3.5 Суммирование по множеству
Пусть – непустое конечное множество элементов произвольной природы, , и задано произвольное отображение из в , т.е. каждому элементу из поставлено в соответствие некоторое действительное число ,
.
Часто возникает необходимость в оперировании с суммой или произведением всех образов , когда пробегает множество .
На практике такая ситуация встречается постоянно. Простейшей моделью является множество предметов, загружаемых в контейнер. В этом случае в качестве отображения из в может быть рассмотрен перечень загружаемых предметов с указанием веса каждого из них, а суммой всех образов этого отображения является вес этого груза. Другим примером является зарплата коллектива работников цеха, отдела или предприятия (в качестве множества ). Отображением из в в этом случае является платежная ведомость, по которой каждый работник получает деньги в кассе.
Основной способ введения обозначений для указанных выше суммы и произведения (он уже применялся выше при введении обозначений для перестановок -ой степени) состоит в том, что мы, игнорируя природу элементов множества , проводим их произвольную перенумерацию от 1 до , вследствие чего множество может быть заменено множеством , а элемент этого множества – его номером . Тогда по определению
. (3.15)
Переменный индекс , по которому идет суммирование и перемножение в левых частях равенства (3.15), называется иногда немым. Первое правило замены переменного в сумме и произведении состоит в том, что немой индекс может быть заменен на любой другой переменный индекс, например на индекс ,
.
В связи с тем, что операции сложения и умножения действительных чисел обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, порядок расположения элементов в правых частях равенства (3.15) безразличен и при его произвольном изменении значения всей суммы и всего произведения не изменяется. Иными словами, если – произвольная перестановка -ой степени, то в равенствах (3.15) справедливо следующее правило замены переменного,
,
.
Однако, в ряде случаев игнорирования природы элементов множества доставляет определенные неудобства и при суммировании и перемножении элементов желательно в качестве индекса вместо номера сохранить его первоначальное значение . В связи с этим в качестве обозначений, эквивалентных обозначениям (3.15), применяются обозначения:
, (3.16)
читается: сумма по всем элементам множества , и
, (3.17)
читается: произведение по всем элементам множества . При этом сформулированные выше правила замены переменного в сумме и произведении вида (3.15) справедливы также для суммы (3.16) и произведения (3.17). Именно,
.
где – произвольная перестановка элементов множества .
Лекции IX и X.
План
3.6 Определитель -го порядка.
3.7 Свойства определителя.
3.6 Определитель n-го порядка
Пусть , . Определителем матрицы называется действительное число , которое вычисляется по правилу
, (3.18)
где
(3.19)
Определитель матрицы также называется детерминантом матрицы , и в этом случае используется обозначение , эквивалентное обозначению .
Разберем подробно случаи .
1) . Множество состоит из одной единичной перестановки , которую по аналогии с единичными перестановками более высоких степеней естественно считать четной. Поэтому определитель матрицы имеет вид .
2) . Множество перестановок второй степени состоит из одной четной и одной нечетной перестановки , , . Поэтому сумма (3.18) имеет два слагаемых,
.
3) . Множество состоит из шести перестановок третьей степени,
Перестановки – четные, а перестановки – нечетные. Поэтому
. (3.20)
При формула (3.18) содержит уже 24 слагаемых, в связи с чем становится ясно, что для вычисления определителей достаточно высокого порядка она мало пригодна. Нашей ближайшей задачей является изучение таких свойств определителя, которые бы, в частности, позволили разработать достаточно простой способ их вычисления, отличный от прямого счёта по формуле (3.18). Такой способ вычисления будет изложен ниже в пункте 3.10. Эффективность его настолько высока, что, как правило, этот способ целесообразно применять даже для вычисления определителей третьего порядка, избегая при этом использования формулы (3.20).
Принимая во внимание запись определителя в виде таблицы (3.18), ниже будем использовать следующие термины с очевидным их содержанием: определитель порядка , элемент определителя, строка определителя, столбец определителя.