Алгебра
Лекции и практика
Определители
Гл. 3. Определители
Мы приступаем к изучению одного из самых трудных понятий, связанных с матрицами, понятия определителя. Каждой квадратной действительной матрице можно поставить в соответствие действительное число, которое по специальной формуле выражается через элементы этой матрицы и называется её определителем. Определители появляются в процессе построения формул для решения определённых СЛАУ с квадратными матрицами и имеют большое значение для линейной алгебры. В связи с этим отметим только, что в терминах определителей в первой части курса будет получена формула обратной матрицы, а позже – изучены наиболее глубокие, так называемые спектральные свойства, квадратных матриц. Вместе с тем, определители давно уже стали общематематическим, а более точно общенаучным инструментом, так как без них немыслимы многие разделы не только математики, но и физики, экономики и др. В частности, позже мы увидим, как с помощью определителей, получаются формулы для площадей фигур и объёмов тел.
Содержание ближайших
лекций распадается на 3 части. Вначале
необходимо провести некоторую подготовку
для того, чтобы дать определение
определителя произвольного порядка.
Для этого мы изучим простейшие свойства
отображений множеств и так называемых
перестановок
-той
степени. Поскольку формула определителя
-ого
порядка достаточно сложна и вычисления
по этой формуле слишком громоздки, а
поэтому нецелесообразны в общем случае,
основную часть времени мы потратим на
изучение свойств определителя и
построение эффективного алгоритма их
вычисления. В последнем случае вновь
большую роль будут играть приёмы,
связанные с методом Гаусса, что ещё раз
подчеркивает глубокую связь между
теорией определителей и теорией СЛАУ.
Наконец, после этого будут рассмотрены
первые приложения определителей в
алгебре матриц и теории СЛАУ, в частности,
будет получена формула обратной матрицы.
Лекция VIII.
План
3.1 Появление определителей в теории СЛАУ.
3.2* Отображения.
3.3 Перестановки -той степени.
3.4 Четные и нечетные перестановки.
3.5 Суммирование по множеству.
3.1 Появление определителей в теории слау
Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
(3.1)
и применим к ней метод исключения неизвестных в общем виде, налагая при необходимости соответствующие ограничения на её коэффициенты.
Умножим первое
уравнение на
и вычтем из него второе уравнение,
умноженное на
.
Получим, что
.
Полагая
,
имеем
. (3.2)
Теперь умножим
второе уравнение на
и вычтем из него первое уравнение,
умноженное на
.
Получим, что
,
то есть
. (3.3)
Выражение
называется определителем матрицы
и обозначается специальным символом
.
(3.4)
Определитель вида (3.4) называют также определителем второго порядка. Заметим, что выражения, стоящие в числителях формул (3.2) и (3.3), также являются определителями второго порядка,
,
.
Это позволяет переписать формулы (3.2) и (3.3) в виде
,
.
(3.5)
Формулы (3.5)
называются формулами Крамера. Напомним,
что они получены нами в предложении,
что
.
Вместо системы (3.1) можно рассмотреть систему третьего порядка и, проводя исключение двух неизвестных в каждом из трёх уравнений, получить формулы Крамера и для этого случая. В этих формулах уже будут участвовать определители третьего порядка (см. [3], Гл.I, §4). Позже, построив теорию определителей произвольного порядка, мы выведем формулы Крамера для системы уравнений с неизвестными.
3.2 Отображения
Пусть
и
– непустые множества. Под отображением
множества
в множество
будем понимать закон (или правило),
который каждому элементу
множества
ставит в соответствие некоторый элемент
множества
.
Закон соответствия обычно будем
обозначать строчными греческими буквами
и т.д. Множество
называется областью определения, а
множество
– областью действия данного отображения.
Тот факт, что отображение с законом
соответствия
действует из множества
во множество
будем обозначать
или
.
Часто, допуская вольность речи, будем
употреблять выражение «отображение
»
вместо «отображение
».
В таких случаях либо из контекста ясно,
каковы области определения и действия
данного отображения, либо безразлично,
каковы эти множества. Если при отображении
элементу
из
отвечает элемент
из
,
то это записывается следующим образом,
или
,
.
При этом элемент
называется образом элемента
при отображении
,
а элемент
называется прообразом элемента
при отображении
.
Подчеркнем, что отображение это тройка:
область определения, область действия
и закон соответствия. Изменения одной
из компонент тройки влечёт изменение
отображения, точнее, два отображения
и
считаются равными (записывается
)
тогда и только тогда, когда совпадают
их области определения, области действия
и законы соответствия, т.е. для любого
из области определения
.
Отображение числового множества
в числовое множество
называется также функцией, определённой
на
со значениями в
,
и в этом случае
называется независимой переменной, а
– зависимой переменной. В других случаях
употребляются термины «преобразование
множества
в множество
»
или «оператор, действующий из множества
в множество
».
Все эти термины имеют одинаковое
содержание, а их употребление в конкретных
случаях диктуется стремлением подчеркнуть
те или иные интуитивные обстоятельства.
Приведем некоторые употребительные частные случаи отображений.
Пример 1. Отображение
,
которое действует по правилу
,
называется тождественным
отображением.
Пример 2. Отображение
,
которое каждому элементу
из
ставит в соответствие один и тот же
элемент
из
,
,
называется постоянным
отображением.
Пример 3. Пусть
дано отображение
и
.
Отображение, которое каждому элементу
из
ставит в соответствие элемент
из
,
называется ограничением
(или сужением)
отображения
на множество
и обозначается
или
.
Через
обозначается совокупность всех образов
элементов множества
при отображении
.
Ясно, что
.
Если
,
отображение
называется сюръективным
(или
сюръекцией).
Отображение
называется инъективным
(или инъекцией),
если для любых элементов
и
из
.
Если отображение одновременно сюръективно и инъективно, оно называется биективным (или биекцией). Биективные отображения называются также взаимнооднозначными.
Пусть задано
отображение
и
.
Рассмотрим уравнение
относительно неизвестной
,
.
Сюръективность отображения
означает, что для любого
из
это уравнение имеет хотя бы одно решение.
Инъективность отображения
означает, что это уравнение при любом
из
не может иметь более одного решения,
т.е. для некоторых
решений может не существовать, но если
таково, что решение уравнения существует,
то оно единственно. Биективность
отображения
означает, что уравнение
разрешимо при любых
из
и имеет единственное решение
,
.
В последнем случае существует биективное
отображение
,
действующее по правилу
,
где
– прообраз элемента
(
)
при отображении
.
Отображение
называется обратным
к отображению
и обозначается
.
Существование обратного отображения
является необходимым и достаточным
условием биективности отображения
.
Пусть заданы
отображения
и
.
Если
,
то
и определен элемент
.
Следовательно, определено отображение
,
действующее по правилу:
.
Это отображение называется композицией
отображений
и
и обозначается
(или
).
Заметим, что символы
и
имеют в общем случае различный смысл.
Если существует отображение
,
то отображения
может, вообще говоря, не существовать.
Но даже если оба отображения
и
существуют, они в общем случае не равны,
т.е. композиция отображений некоммутативна.
Достаточное
количество соответствующих примеров
доставляют элементарные функции
школьного курса математики (
и т.д.), которые можно рассматривать как
отображения на
.
В этом случае композиция отображений
является сложной
функцией.
Например,
.
В то же время
композиция отображений обладает
свойством ассоциативности. А именно,
если
,
,
три произвольных отображения, то
, (3.6)
т.е. отображения,
стоящие в обеих частях этого равенства,
одновременно определены на множестве
,
действуют в одно и то же множество
и при этом для всех
из
.
В самом деле, для любых из
,
,
и поэтому (3.6) выполняется в силу условия равенства двух отображений.
Наконец, отметим,
что если
– биекция, то композиции
и
всегда определены и представляют собой
тождественные отображения соответственно
,
и
,
так как
,
.