8.5. Ускорения точек плоской фигуры

Установим зависимость между ускорениями точек плоской фигуры. Допустим, что ускорение полюса плоской фигуры известно. Также известны угловая скорость и угловое ускорение этой фигуры. Определим ускорение любой точки фигуры, например, точки (рис. 23).

По теореме о сложении скоростей точек плоской фигуры, имеем

.

Будем искать ускорение точки как векторную производную по времени от вектора скорости :

.

Так как

.

То имеем

. (74)

По аналогии с выражениями (56) и (57), можно написать

, (75)

где называются соответственно касательным и нормальным ускорениями точки во вращении фигуры вокруг полюса . Тогда соотношение (74) имеет вид

. (76)

Тем самым доказана следующая теорема: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса, а также касательного и нормального ускорений этой точки во вращении фигуры вокруг полюса.

Геометрическая сумма является полным ускорением точки во вращении фигуры вокруг полюса :

. (77)

Вектор направлен перпендикулярно отрезку в сторону вращения фигуры, если вращение ускоренное (рис. 23), и в противоположную сторону, если вращение замедленное (рис. 24). Вектор всегда направлен вдоль отрезка к полюсу (рис. 23, 24).

Модули векторов и соответственно равны

. (78)

Отметим, что ускорения и нельзя отождествлять с касательным и нормальным ускорениями точки фигуры в ее абсолютном движении. Модули и направления векторов зависят от выбора полюса ; сумма касательного и нормального ускорений точки в абсолютном движении равна абсолютному ускорению точки .

Вопросы для самопроверки к разделу 8.

1. Какое движение твердого тела называется плоским?

2. При каких условиях можно привести плоское движение к поступательному движению; к вращению тела вокруг неподвижной оси?

3. Какими уравнениями определяется плоское движение?

4. На какие простейшие движения можно разложить плоское движение?

5. Назовите составляющие, из которых слагается скорость точки плоской фигуры. Как формулируется соответствующая теорема?

6. Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры. В каких случаях ее применение целесообразно?

7. Что называется мгновенным центром скоростей плоской фигуры?

8. Как определить положение МЦС?

9. Как распределяются скорости точек фигуры в данный момент времени? Как по скорости одной точки можно определить скорость другой точки? Что для этого необходимо знать?

10. Из каких составляющих складывается ускорение точки плоской фигуры?

11. Определить модуль и направление ускорения точки плоской фигуры во вращении ее вокруг полюса.

12. Решите самостоятельно задачи: 16.15, 16.20, 16.30, 18.1, 18.4, 18.10 из [3] или [10].