12. Методы измерений.

Методы измерений можно классифицировать по различным признакам. Для общеметрологического анализа важными являются традиционные классификации, основанные на следующих признаках:

• физический принцип, положенный в основу измерения;

• режим взаимодействия средства измерений с объектом;

• вид применяемых средств измерений;

• вид хранителя единицы физической величины и характер измерительных операций.

По первому признаку все методы измерений делятся на электрические, магнитные, акустические, оптические и т.д. По режиму взаимодействия их можно разделить на статические и динамические, контактные и бесконтактные методы. По виду применяемых средств измерений - на аналоговые и цифровые.

По последнему признаку выделяют следующие основные методы измерений :

• метод отклонений:

  • простой метод отклонений;

  • дифференциальный метод отклонений;

• нулевой метод:

  • компенсационный метод;

  • метод замещения.

Конкретному методу измерений соответствуют определенные измерительные действия, структура построения измерительной системы, а также алгоритм определения результата измерения.

Рассмотрим структуры измерительных систем, реализующие перечисленные методы измерения.

Простой метод отклонений это метод измерений, в котором значение величины определяют непосредственно по отсчетному устройству измерительного прибора прямого действия, заранее градуированного в единицах измеряемой физической величины. На рис.2.1. представлена структура измерительной системы для измерения по простому методу отклонений (здесь ИП - измерительный преобразователь).

Рис.2.1

Этому методу соответствует измерительное уравнение вида:

x = y[X],

где x - измеряемая величина; y - числовое значение величины; [X] - единица физической величины.

Примерами измерительных систем, реализующих простой метод отклонений, являются измерительная линейка, пружинный динамометр, стрелочный прибор для измерения силы электрического тока или напряжения и др. В этом случае измерительный прибор выступает в качестве хранителя единицы физической величины.

Сущность дифференциального метода отклонений состоит в том, что на измерительный прибор воздействует разность между измеряемой величиной и известной величиной, воспроизводимой мерой. Под мерой в метрологии понимают средство измерения, предназначенное для воспроизведения и (или) хранения физической величины одного или нескольких заданных размеров, значения которых выражены в установленных единицах и известны с необходимой точностью. На рис.2.2. показана структура измерительной системы, в основе которой лежит дифференциальный метод отклонений.

Рис.2.2.

В структурную схему измерительной системы по этому методу добавлен источник эталонной величины Xэт (ИЭВ) и средство сравнения однородных величин (компаратор). Задачей последнего является получение разности между измеряемой величиной и известной величиной эталонного источника. Измерительным уравнением в данном случае будет выражение вида:

x - xэт = y·[X].

Примером реализации данного метода измерений является измерительная система с применением дифференциальной термопары для измерения температуры объекта исследования. Один спай такой термопары устанавливается на объекте измерений, а второй в термостат с известной температурой, например, сосуд Дъюара с кубиками тающего льда. Здесь термопара играет роль и измерительного преобразователя и суммирующего элемента. Термо-э.д.с., вырабатываемая такой термопарой, будет прямо пропорциональна разности температур между объектом измерения и термостатом.

К нулевым относят методы, в которых результирующий эффект воздействия измеряемой и эталонной величин на компаратор измерительной системы доводят до нуля. При этом балансировки измерительной системы может осуществляться либо программно, либо адаптивно.

На рис.2.3 представлена структура измерительной системы, реализующей нулевой компенсационный метод.

Рис.2.3.

Структурная схема измерительной системы включает компаратор, детектор балансировки (ДБ), балансировочное устройство (БУ), источник эталонной величины (ИЭВ) и выходную ступень. С помощью балансирующего устройства и детектора балансировки источник эталонной величины настраивают таким образом, чтобы разность (x - xэт) стремилась к 0. При выполнении этого условия измеряемая величина x будет равна xэт. Выходная ступень измерительной системы реализует измерительное уравнение

xэт = y·[X].

Примерами реализации компенсационного метода являются рычажные весы с гирями, мост Уитстона для измерения электрического сопротивления. Для расширения возможностей измерительной системы с использованием компенсационного метода в последнюю вводят дополнительное числовое множество К, называемое делителем или аттенюатором. При этом измерительная система приводится к нулю изменением К или ИЭВ (рис. 2.4).

Рис.2.4

В компенсационном методе сравнение x и xэт ведется непосредственно и одновременно.

На рис.2.5 представлена структура измерительной системы, реализующей нулевой метод замещения.

Рис.2.5

В этом методе измеряемую величину замещают известной величиной, воспроизводимой мерой. Сравнение x и xэт в данном случае не осуществляется непосредственно и одновременно.

Примером данного метода может являться взвешивание с поочередным помещением измеряемой массы и гирь на одну и ту же чашку весов.

По общим приёмам получения результатов измерений можно разделить на прямые, косвенные, совместные и совокупные. При этом основным признаком является вид уравнения измерения, связывающего измеряемую и непосредственно наблюдаемые величины.

При прямом измерении измеряемая величина Y пропорциональна непосредственно наблюдаемой X:

Y = cX,

где с - заданный коэффициент.

Примерами прямых измерений могут служить измерение тока амперметром, напряжения - вольтметром, сопротивления - омметром, мощности - ваттметром и т.п.

Косвенное измерение - это измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например, нахождение значения электрического сопротивления по показаниям амперметра и вольтметра; удельного сопротивления проводника - по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения; площади - по форме и размерам геометрической фигуры и т.п.

При косвенном измерении величина Y является известной функцией от непосредственно наблюдаемых аргументов X₁, ..., Xm:

Y = F(Х₁, Х₂,... Х_m).

При косвенном измерении предварительно находят значения величин Xi, а потом, подставляя их в выражение, определяют значение величины Y.

Совокупные измерения - это производимые одновременно измерения одноименных величин, при которых искомые значения величин находят решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.

При совокупных измерениях значения набора одноименных величин Х₁, Х₂,..., Х_k как правило, определяют путем измерений сумм или разностей этих величин в различных сочетаниях:

где коэффициенты cij принимают значения ±1 или 0.

Совместные измерения - это проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними.

Примером совместных измерений является определение температурных коэффициентов и начального сопротивления для терморезисторного преобразователя. Пусть зависимость сопротивления платиновой проволоки от температуры выражается формулой

где - сопротивление терморезисторного преобразователя при повышении начальной температуры на К, Ом; - сопротивление преобразователя при начальной температуре, Ом; - превышение температуры преобразователя над начальной температурой, К; - температурный коэффициент, К^-1; - температурный коэффициент, К^-2.

Пусть проведено измерение сопротивления преобразователя при трех различных температурах: и . Система уравнений для неизвестных имеет вид

Переходя к переменным можно получить систему уравнений, линейную относительно переменных X₁, Х₂, Х₂.

13. Обработка результатов измерения: математическое ожидание, остаточные погрешности, среднеквадратическое отклонение среднеарифметического, доверительный интервал, доверительная вероятность, формула Стьюдента, последовательность обработки результатов.

Цель любого измерения – это получение результата измерений с оценкой истинного значения измеряемой величины. Для этого проводится обработка результатов измерений, в большинстве случаев с помощью вероятностно-статистических методов теории вероятностей и математической статистики.

Погрешности прямых измерений с многократными наблюдениями

Пусть хi – результат i-го измерения (i = 1,2, ..., n).

Среднее арифметическое значение ряда измерений (оценка математического ожидания mx, соответствующего для физической величины ее истинному значению):

Отклонение результата каждого измерения от среднего значения (остаточная погрешность):

Значение среднеквадратической погрешности ряда измерений

Среднеквадратическое отклонение среднего арифметического значения

Значением σ пользуются в том случае, если необходимо дать характеристику точности применяемого метода измерения: если метод точен, то разброс результатов отдельных измерений мал, т.е. мало значение σ. Значение σср используется для характеристики точности результата измерений некоторой величины, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых измерений. При оценке погрешностей измерений пользуются понятиями доверительная вероятность» и соответствующий ей «доверительный интервал».

Введем важные понятия доверительной вероятности и доверительного интервала. Как указывалось выше, среднее арифметическое значение , полученное в результате некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения Х_и и, конечно, как правило, не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности. Пусть Pд есть вероятность того, что отличается от Х_и не более чем на Δ, т.е.

Либо

Вероятность Рд называется доверительной вероятностью, а интервал значений измеряемой величины от - Δ до + Δ - доверительным интервалом.

Приведенные выше неравенства означают, что с вероятностью Рд доверительный интервал от - Δ до + Δ заключает в себе истинное значение Х_и. Таким образом, чтобы характеризовать случайную погрешность достаточно полно, надо располагать двумя числами - доверительной вероятностью и соответствуюшим ей доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал. В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормального закона, в то время как при небольшом числе измерений (и < 20), результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует пользоваться распределением Стьюдента. Это распределение имеет плотность вероятностей, практически совпадающую с нормальной при больших n, но значительно отличающуюся от нормальной при малых n.

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда (СКО среднеарифметического) близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ², а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов nраспределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса. Функция распределения табулирована (Т.е. значения искать в таблице надо). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α.

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

1. Проводятся измерения заданного физического параметра n раз в одинаковых условиях, и результаты записываются в таблицу.

2. Если результаты некоторых измерений резко отличаются по своему значению от остальных измерений, то они как промахи отбрасываются, если после проверки не подтверждаются.

3. Вычисляется среднее арифметическое из n одинаковых измерений. Оно принимается за наиболее вероятное значение измеряемой величины

. (8)

4. Находятся абсолютные погрешности отдельных измерений

5. Вычисляются квадраты абсолютных погрешностей отдельных измерений (Δх_i)²

6. Определяется средняя квадратичная ошибка среднего арифметического

.

7. Задается значение доверительной вероятности α. В лабораториях практикума принято задавать α=0,95.

8. Находится коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности α и числа произведенных измерений (см.табл.)

9. Определяется случайная погрешность

.

10. Определяется суммарная погрешность

.

где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.

11. Оценивается относительная погрешность результата измерений

.

12. Записывается окончательный результат в виде

, с α=… Е=…%.