Своиства

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной. 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

 3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

(41)

   4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:

(42)

 * в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x₁, x₂, ..., x_n, ..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.    Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания *:

(43)

   Рассмотрим теперь свойства дисперсии.

1°. Дисперсия постоянной равна нулю. 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(47)

3°. Если и - независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(48)

Начальным моментом порядка k случайной величины ξ называется число α_k=M(ξ)^k.

Центральным моментом порядка k случайной величины ξ называется число μ_k=M(ξ-Mξ)^k.

Вопрос№60 Сходимость по вероятности, неравенство Чебышева, закон больших чисел в формах Чебышева и Бернулли.

Последовательность ξ1,ξ2,…сходится по вероятности к ξ (ξ_n→¯pξ), если для любого ε>0 lim(n→∞)p(|ξ_n-ξ|>ε) = 0.

Неравенство Чебышева. Пусть — случайная величина, а - положительное число. Тогда вероятность того, что модуль отклонения случайной величины. от ее математического ожидания окажется меньше, чем , больше или равна разности

(52)

   Неравенство (52) называется неравенством Чебышева

Закон больших чисел Чебышева.    Имеет место следующее утверждение. Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. для любого i. Тогда, каково бы нибыло , справедливо соотношение

  Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий. Закон больших чисел Бернулли.    Пусть производится последовательность независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие А, причем вероятность наступления этого события одна и та же при каждом испытании и равна р. Если событие А фактически произошло m раз в n испытаниях, то отношение m/n называют, как мы знаем, частотой появления события А. Частота есть случайная величина, причем вероятность того, что частота принимает значение m/n, выражается по формуле Бернулли (13):  

   Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

(55)

   иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А).