http://matan.isu.ru/matan/lim_and_count.html

1)Числовая последовательность и фун-ия

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x  N,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, y_n,…. Значения y1, y2, y3,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n2_\shad \shad0можно записать:

y1 = 1² = 1;///y2 = 2² = 4;///y3 = 3² = 9;…y_n = n2;…

Способы задания последовательностей.Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

y_n = f(n).

Пример. y_n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y1 = 3; y_n = y_n–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y_n = 4n – 1.

Пример 2. y1 = 1; y2 = 1; y_n = y_n–2 + y_n–1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y1 = 1; y2 = 1; y3 = 1 + 1 = 2; y4 = 1 + 2 = 3; y5 = 2 + 3 = 5; y6 = 3 + 5 = 8;

Понятие числовой функции

Пусть задано числовое множество   Если каждому числу   поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: 

y = f (x),

Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)). Множество, состоящее из всех элементов f (x), где   называется областью значений функции и обозначается E (f (x)).

Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x. Число    соответствующее значению   называют значением функции в точке   и обозначают   или 

Для того чтобы задать функцию f, нужно указать:

1) ее область определения D (f (x));

2) указать правило f, по которому каждому значению   ставится в соответствие некоторое значение y = f (x).

2)Предел числовой последовательности. Предел  также является одним из основных понятий математики. Если данная функция  y = f(x)  при определённом изменении  x  приближается к некоторой постоянной величине c, то последняя называется пределом  функции  f(x). Точный смысл понятия «предел функции» имеет лишь при указании закона изменения  x  и наличия точного понятия  близости  элемента  y к величине  c. С пределом связаны основные понятия математического анализа: непрерывность, производная,дифференциал, интеграл. Одним из простейших случаев предела функции является предел числовой последовательности.

Предел числовой последовательности. Пусть дана числовая последовательность – функция  f,  ставящая каждому натуральному числу  n  из множества натуральных чисел  N  в соответствие определенный элемент  y  из множества действительных чисел  R, который обозначим  как

 

Действительное число  c  называется пределом последовательности      ,  если для любого действительного числа      ε > 0  существует такое число  N,  что для всех натуральных  n > N  выполняется неравенство   ,  при этом пишут     . Здесь указано, что  n  берутся достаточно большими, а близость  y  к  c определяется модулем их разности.

Предел функции. Пусть функция  f  ставит каждому числу  x  из некоторого подмножества действительных чисел  R  в соответствие действительное число  y = f(x). Действительное число  b  называется пределом функции  f  в точке  a  из  R  (при  x стремящемся к  a), если для любого действительного числа  ε > 0  существует такое действительное число  δ > 0, что для любого такого числа  x, что  0 < | x – a| < δ,  выполняется неравенство  |f(x) – b| < ε,  при этом пишут   Отметим, что в определении требуется, чтобы функция  f  была определена для чисел  x,  близких к  a.