57. Извлечение корней комплексного числа. Корни из единицы.

Под корнем n-степени из комплексного числа z будем понимать W, которое Wⁿ=z

z=a+bi

W=

W²=z

W=x+iy

x²+2ixy-y²-a+bi

Определим e^iᵠ= +i

Всякое комплексное число можно написать в показательном виде

z=re^iᵠ

корень n-степени из комплексного числа z имеет ровно n различных корней, который получаются из формулы

=

58. Понятие многочлена и операции над ним.

Выражение вида a₀xⁿ+ a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n будем называть многочленом степени n принадл. N, если a₀≠0. Числа a₀ ,a₁ ,a₂… a_n называются коэффициентами, а х-некоторые переменные. Поэтому многочлен можно рассматривать, как функцию одной переменной f(x)= a₀x⁽ⁿ⁾+…+ a_n

Два многочлена равны в том и только том случае, когда их степени равны и коэффициент при соответствующих степенях также равны между собой.

Действия с многочленами:

1. f+g

2. f*g

3. для любых f и g существуют(при том единственные) p и такие что:

f=pg+ где -остаток от деления р-частное.

59. Корни многочлена. Основная теорема алгебры Разложение многочлена на простые множители.

Корнем многочлена f(x)= a₀xⁿ+…+ a_n , n≥1, a₀≠0 называется число e ϵ c, что f(c)=0

Нахождение корня 3-й степени Кордано, i-степени Ферарри, решение через коэффициенты. По Абемо многочлены степенью выше 5 неразрешимы через их коэффициенты.

2.Безу Остаток от деления многочлена на (x-c) равен f(c)

Если с равен корню многочлена, то f(c)=0, если с-корень, то f(x)\(x-c) без остатка.

f(x)=(x-c)p(x)

f(x)=(x-c)p(x)+ -многочлен 0-степени (число)

a₀ a₁ ……. a_n

c b₀=a₀ b₁=a₁+b₀c …….. r=a_n+b_n-1c

Корень многочлена f(x) имеет кратность k если f(x)=(x-c)^kp(x), p(c)≠0

Если k=1=>c-простой корень

Для того, чтобы e был корнем кратности k многочлена f(x), необходимо и достаточно чтобы f(c)=f ’(c)= f^(k-1)(c)=c f^(k)(c)≠0

Основная теорема алгебры.

Теорема: многочлен степени n≥1, то он также имеет по крайней мере 1 корень.

Пусть с₁ – корень многочлена:

f(x)=(x-c₁)p₁(x)

если p₁ имеет степень ≥1 то он также имеет по крайней мере 1 корень.

p₁(x)=(x-c₂)p₂(x)

f(x)=(x-c₂) (x-c₁)p₂(x)

Следствие: всякий многочлен с комплексным коэффициентом степени n≥1 может быть представлен в виде:

f(x)=(x-c₁)^k1 (x-c₂)^k2…(x-c_n)^km

где k₁ ,k₂ ,k₃ …k_n = n

Пусть f(x), g(x) степень не выше n≥1 и пусть значение f(x), g(x) совпадают более чем в n точках.

p(x)=f(x)-g(x)

p(x) имеет более n различных корней и степень не выше n=>p(x)-нулевой многочлен f(x) и g(x) совпадают.