Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации
Обобщим
уравнение (9) на случай многокомпонентной
фильтрации. Предполагается, что фазы
(вода и нефть) не смешиваются, и пассивная
примесь может иметь ненулевую концентрацию
только
в воде и на стенках пор. Концентрация
воды во флюиде равна
.
Поле скоростей фильтрации воды равно
.
Тогда поле скоростей течения воды
определено в тех точках, где вода
присутствует, и равно
.
Рассмотрим
произвольный объём
пористой
среды. Закон сохранения количества
примеси для этого объёма имеет вид:
, (10)
где:
— концентрация примеси;
— граница объёма ;
— плотность
потока примеси;
— нормаль к поверхности ;
— плотность мощности источников примеси.
Рассмотрим
малый объём
.
Количество растворённой примеси в
объёме
равно
.
Часть
объёма
занята
водой. Соответственно в этой части
объёма имеем
молей
примеси, адсорбированной на стенках
пор. Так как примесь может иметь ненулевую
концентрацию только в воде, то она не
сможет из адсорбированного состояния
перейти в нефть. Поэтому в части объёма,
занятой нефтью, плотность адсорбированной
примеси будет такая же, как и в части
объёма, заполненной водой. В итоге во
всём объёме
имеем
молей
адсорбированной примеси.
Тогда суммарное количество примесей в объеме равно
. (11)
Рассмотрим
некоторую малую площадь
в
пористой среде. Так как примесь может
передвигаться только в воде, то достаточно
рассмотреть поток через занятую водой
часть
этой
площади.
Конвективный поток будет равен
.
Диффузионный поток будет равен
.
Тогда суммарный поток примеси через площадь будет равен
. (12)
Закон сохранения массы (10) с учетом (11) и (12) запишется в виде
.
Отсюда
. (13)
Так как объём не зависит от времени, можно поменять местами дифференцирование по времени и интегрирование в первом слагаемом. Тогда, в силу произвольности , будем иметь:
, (14)
где:
— пористость;
— концентрация примеси;
— водонасыщенность;
— концентрация адсорбированной в порах примеси;
— скорость фильтрации воды;
— диффузионный поток, вызванный конвективной диффузией;
— плотность мощности источников примесей.
Скорость
фильтрации воды
может
быть определена в соответствии с
обобщённым законом Дарси:
. (15)
Лекция №5.
Математическое моделирование физических процессов
1. Режимы течения. Вязкость. Число Рейнольдса.
Из самых общих соображений при движении в различных средах сила сопротивления движению может зависеть как от формы тела (обтекаемая или нет), так и от свойств среды, например, плотности, вязкости.
Вязкость определяет силу внутреннего трения жидкости (газа), которая была определена Ньютоном как
,
где
-
изменение скорости между слоями жидкости,
находящимися на расстоянии
между
собой,
-
площадь поверхности соприкасающихся
слоев,
-
коэффициент пропорциональности,
называемый коэффициентом
динамической вязкости
(или
просто динамической вязкостью).
Размерность
,
как это легко вывести из приведенной
выше формулы, есть
.
Наряду с коэффициентом динамической
вязкости часто используется коэффициент
кинематической вязкости
,
где
- плотность жидкости (газа). Размерность
кинематической вязкости есть
,
что также легко вывести. Вязкость наряду
со скоростью и размером движущегося
тела определяет режим течения. Если
перейти в систему координат, связанную
с телом, можно считать, что тело покоится,
а его обтекает поток жидкости (или газа),
о режиме течения которого мы и говорим.
Режим
течения может быть ламинарным
или
переходным
или
турбулентным
в
зависимости от числа
Рейнольдса
.
Здесь
-
характерный размер тела,
-
его скорость относительно потока,
-
плотность жидкости (газа). При
(малые
скорости и размеры, большая вязкость)
течение спокойное, без завихрений,
траектории выделенных частиц жидкости
не пересекаются и повторяют линии тока.
Такой режим течения называется
ламинарным.
При
скорости
велики, вокруг тела создаются вихри, за
траекторией выделенной частицы жидкости
трудно проследить. Такой режим течения
называется
турбулентным.
При
или
такой
режим течения называется
переходным.