- •Лекции по математическому моделированию (для заочников)
- •Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели
- •Элементарные математические модели
- •Вариационные принципы и математические модели
- •2. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
- •3. Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений.
- •Совместное применение нескольких фундаментальных законов
- •1. Предварительные понятия газовой динамики.
- •2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.
- •2. Уравнения движения газа.
- •3. Уравнение энергии.
- •Фильтрация смеси нефти и воды в пористой среде
- •Математическая модель фильтрации
- •Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации
- •Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации
- •Математическое моделирование физических процессов
- •1. Режимы течения. Вязкость. Число Рейнольдса.
- •2. Формула Стокса.
- •3. Сила гидравлического сопротивления.
Вариационные принципы и математические модели
Общая схема принципа Гамильтона.
Пусть имеется механическая система, формального или строгого определения которой пока давать не будем, имея в виду, что все взаимодействия между элементами такой системы определяются законами механики (один из простейших примеров, система «шарик – пружина»). Ведем понятие обобщенных координат , полностью определяющих положение механической системы в пространстве. Величина может быть декартовой координатой (например, координата в системе «шарик – пружина»), радиусом-вектором, угловой координатой, набором координат материальных точек, составляющих систему и т.д. Величину естественно называть обобщенной скоростью механической системы в момент времени . Набор величин и определяет состояние механической системы во все моменты времени.
Для описания механической системы вводится функция Лагранжа, которая, в простейших случаях, имеет явный смысл и записывается в следующем виде
, (1)
где и - кинетическая и потенциальная энергии соответственно.
Введем величину , называемой действием:
. (2)
Интеграл (2), очевидно, является функционалом от обобщенной координаты , т.е. функции , заданной на отрезке , он ставит в соответствие некоторое число (действие).
Принцип Гамильтона для механической системы гласит: если система движется по законам механики, то - стационарная функция для , или
. (3)
Фигурирующая в принципе наименьшего действия (3) функция - некоторая пробная функция, обращающаяся в ноль, в моменты и удовлетворяющая тому условию, что - возможная координата данной системы (в остальном произвольна).
Смысл принципа (3) в том, что из всех априори мыслимых (допускаемых) траекторий (движений) системы между моментами выбирается (реализуется) движение, доставляющее минимум функционалу действие (отсюда и происходит название принципа). Функция называется вариацией величины .
Итак, схема применения принципы Гамильтона (3) для построения моделей механических систем состоит в следующем: определяются обобщенные координаты и обобщенные скорости системы, строятся функция Лагранжа и функционал действия , минимизация которого на вариациях координаты и дает искомую модель.
2. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
Тепловая энергия или тепло – это энергия хаотичного движения атомов или молекул вещества. Обмен теплом между различными участками называется теплопередачей, а сами материалы, обладающие хорошо выраженным свойством теплопередачи, - теплопроводными. К ним относятся, например, металлы, в которых тепловая энергия переносится в основном свободными электронами, некоторыми газами и т.д. Процессы передачи тепла рассматриваются в условиях так называемого локального термодинамического равновесия (ЛТР). Понятие ЛТР для газов вводится при , т.е. когда длина свободного пробега частиц вещества много меньше характерных размеров рассматриваемого объекта (сплошная среда). ЛТР подразумевает также, что процессы изучаются при временах, больше чем (время между столкновениями частиц), и на размерах, больших, чем . Тогда в областях вещества, размеры которых превосходят величину (но много меньше величины ), устанавливается равновесие и для них можно ввести средние величины плотности, скорости теплового движения частиц и т.д.
Эти локальные величины (разные в разных точках среды) при сформулированных предположениях находятся из равновесного максвелловского распределения частиц. К ним относится температура , определяющая среднюю кинетическую энергию частиц:
,
где – масса частицы, - средняя скорость хаотичного движения, - постоянная Больцмана (в случае так называемого больцмановского газа).
Связанная с хаотичным движением частиц энергии вещества (внутренняя энергия) определяется через температуру с помощью величины удельной теплоемкости , а именно
, ,
где – плотность вещества ( - число частиц в единице объема), - внутренняя энергия единицы массы. Другими словами, теплоемкость – это энергия, которую необходимо сообщить единице массы вещества, чтобы увеличить температуру на один градус.
Наиболее простое выражение для теплоемкости получается в случае идеального газа (газа, частицы которого взаимодействуют лишь при непосредственном взаимодействии столкновения и, подобно биллиардным шарам, без потери суммарной кинетической энергии). Если в некотором объеме идеального газа содержится частиц, то их полная внутренняя энергия есть
,
где - суммарная масса частиц, а удельная внутренняя энергия, или энергия на единицу массы, дается формулой
,
Т.е. теплоемкость идеального газа равна и не зависит от величин . В общем случае связь между внутренней энергией и температурой более сложная. Например, помимо кинетической энергии движущихся частиц, внутренняя энергия содержит составляющую, связанную с потенциальной энергией их взаимодействия, зависящей от среднего расстояния между ними. В свою очередь , где - число частиц в единице объема, т.е. зависит от плотности . Поэтому в теории теплопередачи величины (или, что то же самое, ) являются, вообще говоря, функциями от и . Их конкретный вид определяется свойствами рассматриваемой среды.