10. Устойчивость состояний равновесия: теорема Лагранжа – Дирихле, принцип Торичелли, теорема Ляпунова

По Ляпунову: Устойчивое состояние равновесия системы такое, когда при малом начальном отклонении системы все ее точки будут двигаться не уходя от положения равновесия далее наперед заданного расстояния.

Теорема Лагранжа – Дирихле: При устойчивом равновесии системы ее потенциальная энергия принимает миним. значение

Ограничения: 1) Силы потенциальны

2) Связи голономны, идеальны, стационарны

Принцип Торичелли: При устойчивом равновесии системы ее центр тяжести занимает наинизшее положение.

Ограничения: 1) Силы – силы тяжести

2) Связи идеальны, голономны, стационарны

Теорема Ляпунова:

Равновесие системы неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии системы обнаруживается уже по членам второго порядка в разложении в ряд Тейлора

8. Обобщенные силы

К понятию обобщенные силы приводят преобразование элементарной работы сил и выражают через обобщенные координаты. (1)

Три способа вычисления обобщенных сил:

1. На основе (1):

2. Задается

Множитель Q при изменении обобщенной координаты

_{В выражении для виртуальной работы активных сил системы наз. обобщенной силой, соответствующей начальной координате}

3. Для потенциальных сил.

Обобщенная сила в консервативной системе равна частичной производной потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате, взятой с обратным знаком.

Условия равновесия в обобщенных координатах.

Согласно принципу возможных перемещений .

(2)

, Т.к. , то (3)

Одно вариационное выражение (2) эквивалентно «S» алгебраическим уравнениям (3).

Для равновесия голономных систем необходимо и достаточно, чтобы все вариационные системы были равны нулю.

Частный случай: для потенциальных сил:

11. Устойчивость состояний равновесия: критерий Сильвестра

По Ляпунову: Устойчивое состояние равновесия системы такое, когда при малом начальном отклонении системы все ее точки будут двигаться не уходя от положения равновесия далее наперед заданного расстояния.

Критерий Сильвестра:

Система находится в положении устойчивого равновесия, если квадратичная формула потенциальной энергии этой системы положительна, что возможно в том случае, если все главные диагональные миноры матрицы квадратичной формы и положительны.

9. Общее уравнение динамики

(1) – общее уравнение динамики

Уравнение (1) запишем в виде:

- общее уравнение динамики – принцип Доломбера - Лагранжа:

При движении механической системы с идеальными связями работа всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

12. Кинетическая энергия в обобщенных координатах

Для нестационарных связей радиус – вектор зависит от всех обобщенных координат и времени t.

; ;

(1)

i=1,2,…,s

В пустых скобках выражение (1)

В общем случае кинетическую энергию материальной системы можно представить суммой квадратичной , линейной и нулевой форм относительно обобщенных скоростей.

- нулевая ступень обобщенных скоростей

- линейная функция обобщенных скоростей

- квадратичная степень обобщенных скоростей

Для стационарных связей:

Одна степень свободы:

Две степени свободы: