1.1 Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока

Магнитная индукция в какой-либо точке пространства зависит от формы проводов, по которым текут токи, образующие поле, от силы этих токов, от их направления, а также от расположения рассматриваемой точки. Характер этой зависимости для частного случая - поля бесконечного прямого тока был определен Био и Саваром в 1820 г. Было показано, что B I (току в проводе, но не в рамке!) и что B  (r - расстояние от провода до точки, в которой измеряется магнитное поле). В каждом случае формула зависимости индукции от расположения проводов будет особая, но указанные зависимости индукции от тока в проводнике и от расстояния до проводника сохраняются.

Лаплас предположил, что индукция магнитного поля, созданная током, текущим по проводам, определяется токами в отдельных элементарных участков этого проводника (dl), а наблюдаемая индукция B является векторной суммой этих величин:

На опыте нельзя осуществить измерение индукции поля отдельного элементарного участка тока, так как участок невозможно отделить от других элементов цепи. Лапласу удалось путем обобщения опытных данных найти зависимость, которая позволяет рассчитывать индукцию поля проводника произвольной формы:

.

Вектор dB перпендикулярен к плоскости, содержащей r и dl, направление его определяется правилом буравчика. В векторной форме закон Био-Савара-Лапласа можно записать в виде:

1.2 Индукция магнитного поля в центре кругового тока

Вектора dB для элементов dl в центре кругового тока имеют одинаковое направление. Для любого элемента  = , следовательно, sin  = 1.

Тогда . Но в данном случае вместо геометрической суммы можно брать сумму алгебраическую: .

1.3 Индукция магнитного поля на оси кругового тока

Определим индукцию магнитного поля в точке А, отстоящей от плоскости еругового тока на расстояние b вдоль оси. Угол  = , как угол между образующей r конуса и элементом окружности его основания dl. Рассмотрим два диаметрально расположенных элемента контура dl₁ и dl₂ (dl₁ = dl₂ , r₁ = r₂). Эти элементы создают в точне А индукцию магнитное поле, причем вектора индукции dB₁ и dB₂ равны по модулю, но имеют разное направление. Разложим эти вектора на составляющие, перпендикулярные и параллельные оси dB_ и dB_.

Геометрическая сумма этих векторов будет направлена по оси кругового тока и численно равна сумме их проекций на эту ось. Величина индукции в этом случае определяется интегралом:

B =

= , учитывая, что , можно записать формулу индукции магнитного поля на оси кругового тока:

1.4 Индукция магнитного поля прямолинейного тока

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу. Вектора индукции всех элементов в точке А имеют одинаковые направления (в данном случае перпендикулярны плоскости чертежа). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка А находится на расстоянии b от провода.

Подставляем эти значения в формулу Био-Савара-Лапласа:

dB=

Если проводник имеет бесконечную длину, то угол  изменяется в пределах от 0 до .

B =

В случае проводника ограниченной длины : B = .