- •Математический маятник
- •3)Лагранжев подход
- •1.1. Гармонические колебания
- •1.2. Векторная интерпретация и комплексное представление
- •1.3. Модулированные колебания
- •Сложение колебаний. Векторные диаграммы. Биения.
- •Сложение колебаний Векторная диаграмма
- •3.4.Анализ колебаний маятника на основе равенства сил, моментов и сохранения энергии
- •2.4. Гармонический осциллятор и его характеристики
- •3.3. Солитонное решение уравнения для осциллятора с нелинейностью синуса
- •2.5. Гармонический осциллятор и уравнение Шредингера.
- •2.6. Цепочка осцилляторов и уравнение Клейна-Гордона-Фока(укгф)
- •Уравнение распространения волн в газовой среде.
- •11.2. Гармоническая волна
- •11.3. Волны в пространстве
- •1. Распространение волн в среде
- •§ 2. Уравнения плоской и сферической волн
- •§ 3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
- •§ 4. Волновое уравнение
- •§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде
- •§ 6. Энергия упругой волны
- •§ 7. Стоячие волны
- •Глава 6. Волновой пакет
- •6.1 Фазовая скорость
- •6.2 Групповая скорость
- •6.3 Сложение колебаний с непрерывной зависимостью (k)
- •6.4 Локализация пакета и его длительность
- •6.5 Частица как волновой пакет
- •6.6 Линейная и нелинейная дисперсионные зависимости
- •6.7. Расплывание волнового пакета
- •Примеры
- •Адиабатический процесс.
- •Термодинамические потенциалы.
- •Раздел I. Термодинамика
- •Тема 1. Введение. Основные понятия и определения.
- •1.1 Введение
- •1.2. Термодинамическая система.
- •1.3. Параметры состояния.
- •1.4. Уравнение состояния и термодинамический процесс.
- •Тема 2. Первый закон термодинамики.
- •2.1. Теплота и работа.
- •2.2. Внутренняя энергия.
- •2.3. Первый закон термодинамики.
- •2.4. Теплоемкость газа.
- •2.5. Универсальное уравнение состояния идеального газа.
- •2.6. Смесь идеальных газов.
- •Тема 3. Второй закон термодинамики.
- •3.1. Основные положения второго закона термодинамики.
- •3.2. Энтропия.
- •3.3. Цикл и теоремы Карно.
- •Тема 4. Термодинамические процессы.
- •4.1. Метод исследования т/д процессов.
- •4.2. Изопроцессы идеального газа.
- •4.3. Политропный процесс.
- •Тема 5. Термодинамика потока.
- •5.1. Первый закон термодинамики для потока.
- •5.2. Критическое давление и скорость. Сопло Лаваля.
- •5.3.Дросселирование.
- •Тема 6. Реальные газы. Водяной пар. Влажный воздух.
- •6.1. Свойства реальных газов.
- •6.2. Уравнения состояния реального газа.
- •6.3. Понятия о водяном паре.
- •6.4. Характеристики влажного воздуха.
- •Термодинамика Элементы статистической физики.
- •Закон Фика и уравнение диффузии.
- •Закон Ньютона для вязкого трения.
- •5.10. Вывод закона Фурье
- •1) Введенная величина f есть свободная энергия системы,
- •3) Параметр θ пропорционален абсолютной температуре т:
- •2.16. Большое каноническое распределение и термодинамика систем с переменным числом частиц
- •Двухатомный газ с молекулами из одинаковых атомов. Вращение молекул.
- •9.1. Бозоны и фермионы. Принцип Паули
Лекция 9
Теория колебаний.
Колебания бываю различной природы
Механические, электромагнитные, звуковые.
Последовательные периодические изменения параметров системы называются колебаниями.
Время, за которое система возвращается в начальное состояние после вывода ее из положения равновесия, называется периодом -Т.
Количество колебаний, совершаемых за единицу времени, называется частотой.
- частота [Гц]
Колебания, подчиняющиеся тригонометрическим законам, называются гармоническими.
Математический маятник
Сейчас уже невозможно проверить легенду о том, как Галилей, стоя на молитве в соборе, внимательно наблюдал за качанием бронзовых люстр. Наблюдал и определял время, затраченное люстрой на движение туда и обратно. Это время потом назвали периодом колебаний. Часов у Галилея не было, и, чтобы сравнить период колебаний люстр, подвешенных на цепях разной длины, он использовал частоту биения своего пульса.
Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний. Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в разных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например, некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.
Уравнение движения математического маятника
Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити.
Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М (маятника) углом отклонения φ радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную M t в сторону положительного отсчёта угла φ , составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения
mа = F + N, (1)
где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.
Рис.1
Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е.
(2).
Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде
или
,
где W есть ускорение точки.
Итак, уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:
или .
В нашем случае получим в проекции на ось t, где m есть масса маятника.
Так как или , отсюда находим
. Сокращая на m будем окончательно иметь:
,
,
(4).
Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в начальный момент маятник отклонён от вертикали на угол φ и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия будут:
при t = 0, (5).
Из интеграла энергии:
(6), где V — потенциальная энергия, а h — постоянная интегрирования, следует, что при этих условиях в любой момент времени угол φ < φ 0. Значение постоянной h определяется по начальным данным. Допустим, что угол φ 0 мал (φ 0 << 1); тогда угол φ будет также мал, и можно приближённо положить sin φ -» φ. При этом уравнение (4) примет вид
(7).
1) Колебания груза за счет сжатой пружины
Закон Гука: сила, действующая со стороны пружины, пропорциональна деформации (сжатию).
F = - kx
Второй закон Ньютона
Подставляя выражение для ускорения через производную
Алгебраические преобразования
Каноническое уравнение колебаний
,
x – смещение груза относительно положения равновесия;
-собственная частота колебаний
2)Математический маятник(груз точечный, нить жесткая, отклонения малы)
Координатное описание с использованием равновесия сил
Векторная запись
Запись в проекциях на оси
Представление через вращательное движение
Угловая скорость
Угловое ускорение
Закон вращательного движения
(произведение момента инерции на угловое ускорение равняется моменту силы)
Расписывая момент инерции, угловое ускорение и момент силы, перепишем
при