43. Аппроксимация функции,заданной таблично.Метод наименьших квадратов.Аппроксимировать экспериментальные данные степенной

функцией в MATHCAD.

Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между x и y в результате серии экспериментов, получена таблица значений.

Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость y=g(x), значение которой при х=х_i (i=1,n) мало отличалось от табличных значений y_i.

Приближенная зависимость y=g(x), полученная на основании экспериментальных данных называется эмпирической формулой.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов:

1) Подбор общего вида формулы

2) Определение наилучших значений содержащихся в ней параметров.

Выбор эмпирической зависимости осуществляется из геометрических соображений:

-координаты экспериментальных точек наносятся на график – приблизительно угадывается зависимость путем сравнения полученного графика с графиками известных функций. Расчет параметров эмпирической зависимости в большинстве случаев осуществляется МНК (методом наименьших квадратов).

В общем случае в МНК для аппроксимации используется многочлен g(x)=a0+a1*x+a2*x²+….a_mx^m. При этом стараются подобрать степень полинома как можно меньше (2-3). Мерой отклонения многочлена g(x) от табличных точек является среднеквадратична разность, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и табличной функции.

В этом функционале неизвестными являются a0….a_n. Задачей является поиск minS, т.е. минимума функции S, зависящей от многих переменных. Свободные коэффициенты необходимо найти из условия минимизации функции (равенства первых производных)

Т аким образом получается система m линейных уравнений.

45. Аппроксимация функции,заданной таблично.Метод наименьших квадратов.Аппроксимировать экспериментальные данные логарифмической функцией в mathcad.

Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между x и y в результате серии экспериментов, получена таблица значений.

Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость y=g(x), значение которой при х=х_i (i=1,n) мало отличалось от табличных значений y_i.

Приближенная зависимость y=g(x), полученная на основании экспериментальных данных называется эмпирической формулой.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов:

1) Подбор общего вида формулы

2) Определение наилучших значений содержащихся в ней параметров.

Выбор эмпирической зависимости осуществляется из геометрических соображений:

-координаты экспериментальных точек наносятся на график – приблизительно угадывается зависимость путем сравнения полученного графика с графиками известных функций. Расчет параметров эмпирической зависимости в большинстве случаев осуществляется МНК (методом наименьших квадратов).

В общем случае в МНК для аппроксимации используется многочлен g(x)=a0+a1*x+a2*x²+….a_mx^m. При этом стараются подобрать степень полинома как можно меньше (2-3). Мерой отклонения многочлена g(x) от табличных точек является среднеквадратична разность, равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и табличной функции.

В этом функционале неизвестными являются a0….a_n. Задачей является поиск minS, т.е. минимума функции S, зависящей от многих переменных. Свободные коэффициенты необходимо найти из условия минимизации функции (равенства первых производных)

Таким образом получается система m линейных уравнений.

Аппроксимация полулогарифмической зависимостью:

Аппроксимация полулогарифмической зависимости:

Составление программы для аппроксимации полулогарифмической зависимости осуществляется на основе программы аппроксимации линейной зависимостью. Аппроксимирующая формула имеет вид:

y=a0a1*log(x)

CLS

n = 7

DIM x(1 TO n)

DIM y(1 TO n)

DIM yr(1 TO n)

FOR i = 1 TO n

READ x(i)

NEXT i

DATA 1.01,2.1,3.5,4.25,5.7,6.9,8

FOR i = 1 TO n

READ y(i)

NEXT i

DATA 0.626,0.799,1.092,1.291,1.784,2.332,2.98

s1 = 0: s2 = 0: s3 = 0: s4 = 0

FOR i = 1 TO n

s1 = s1 + x(i)

s2 = s2 + 1 / (y(i))

s3 = s3 + (x(i)) ^ 2

s4 = s4 + x(i) / y(i)

NEXT i

d = n * s3 - s1 ^ 2

d1 = s2 * s3 - s1 * s4

d2 = n * s4 - s1 * s2

a0 = d1 / d

a1 = d2 / d

PRINT "a0="; a0

PRINT "a1="; a1

s = 0

FOR i = 1 TO n

yr(i) = a1 / (a0 + a1 * x(i))

s = s + (y(i) - yr(i)) ^ 2

PRINT "tablichni0e y("; i; ")"; y(i)

PRINT "raschetnie y("; i; ")"; yr(i)

NEXT i

PRINT "summa kvadratov otklonenii"; s

END