19. Непрерывность функции одной переменной.

Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если lim┬(x→a)⁡〖f(x)=f(a)〗.

Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Точки, в которых нарушается непрерывность, называются точками разрыва.

20. Производная и ее свойства. Дифференциал.

Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю: f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗, или, кратко, y^'=lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗.

Дифференциалом функции называется выражение dy=y'dx.

Основные свойства производных (правила дифференцирования):

c^'=0

(y z)^'=y' z'

(yz)^'=y^' z+yz', в частности (cy)^'=cy'

(1/y)^'=y'/y^2 ,=>(y/z)^'=(y^' z-yz' /z^2

x_y^('y_x' =1

(f(g(x) ) )^'=f^' (g(x) ) g^' (x), в частности (f(ax+b) )^'=af^' (ax+b).

21.

22. Направление вогнутости и точки перегиба.

23.Возрастание,убывание и экстремум функции одной переменной.

Если f’(x)>0, то f(x) возрастает, а если f’(x)<0, то f(x) убывает.

Е

min

max

сли на переходе через точку x₀ производная f’(x) меняет знак, то в этой точке находится экстремум.

24.Неопределенный интеграл и его свойства

Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(x), что F’(x)=f(x). Неопределенным интегралом называется множество всех первообразных. Он обохначается так: ∫f(x)dx. В этой записи f(x)dx называется подынтегральным выражением, а f(x)- подынтегральной функцией. При этом можно записать ∫f(x)dx=F(x)+C, где F(x)- одна из первообразных,то есть F’(x)=f(x).

Свойства неопределенных интегралов.

• ∫d(f(x))=f(x)+C

• d∫f(x)dx=f(x)dx

• ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx, где k-постоянная величина

• ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

• ∫udv=uv-∫vdu (интегрирование по частям)

• ∫f(x)dx=F(x)+C <=>∫f(φ(t)) φ’(t)dt=F(φ(t))+C (замена переменной интегрирования)

• ∫f(x)dx=F(x)+C<=>∫f(ax+b)dx=⅟aF(ax+b)+C

25.Таблица простейших неопределенных интегралов

• ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C,n -1

• ∫dx/x=lnІxІ+C

• ∫a^xdx =a^x/lna + C

• ∫e^xdx=e^x+C

• ∫sinxdx=-cosx +C

• ∫cosxdx=sinx +C

• ∫dx/cos²x=tgx+C

• ∫dx/sin²x=-ctgx +C

• ∫dx/(1+x²)=arctgx+C

• или ∫dx/(1+x²) =-arcctgx+C

• ∫dx/ = arcsinx +С

• или ∫dx/ =-arccosx + C

• ∫dx/(a²+x²)= arctg +C

• ∫dx/(a²+x²)=- arcctg +C

• ∫dx/ =arcsin +C (a>0)

• ∫ dx/ =-arccos +C (a>0)

• ∫ dx/ =lnІx+ І+C

26.определение и свойства определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a;b] задана функция f(x).Разобьем отрезок на n частей точками а=х₀<х₁<х₂<…<х_n-1<х_n=b. На каждой части возьмем точки η_1, η_2, η₃….η_n соответсвенно и составим сумму , или, короче . Если существует предел этой суммы,когда длины всех частей стремятся к нулю,то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]и обозначается .

Свойства!1) , где F(x)-первообразная для f(x) (формула Ньютона-Лейбница) 2) 3) 4) (интегрирование по частям) 5) ,где а=φ(α) и b=φ(β) (замена переменной) 6) 7)если a<b и f(x)≥0,то если a<b и f(x)≤g(x),то 8)если f(x) непрерывна на [a;b], то , где (теорема о среднем)

27.Формула Ньютона-Лейбцина