41.Сутність оптимізаційних моделей. Приклади економічних задач математичного програмування.

задача оптимізації полягає у знаходженні оптимального значення цільової функціїf(x) на допустимій множині D. Розв’язати оптимізацій-ну задачу — означає знайти її оптимальне розв’язування або встанови-ти, що розв’язування немає. Методи розв’язування оптимізаційних за-дач називають методами математичного програмування. Оптимізаційні моделі бувають двох типів: задачі мінімізації і задачі максимізації.Модель оптимального планування виробництва.Загальна постановка задачі математичного програмування з двома невідомими. Визначити максимум (мінімум) функції:при обмеженнях:Функція f називається цільовою. Обмеження у вигляді нерівностей називаються спеціальними обмеженнями, невід’ємність змінних у вигляді нерівностей має назву загальних обмежень задачі математичного програмування (ЗМП). Точка (Х1, Х2), яка задовольняє спеціальним і загальним обмеженням, називається допустимим розв’язуванням ЗМП. Множина всіх допустимих розв’язувань називається допустимою множиною ЗМП. Оптимальним розв'язуванням ЗМП називається точка(V, х2*), яка задовольняє умовам обмежень та цільовій функції. В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значения параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ* , который доставляет минимальное значение f(χ*)заданной функции f(χ).

42.Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація.

Теорема (перша теорема двоїстості). Якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв’язок, причому для оптимальних розв’язків значення цільових функцій обох задач збігаються, тобто .

Економічний зміст першої теореми двоїстості. Максимальний прибуток (F_max) підприємство отримує за умови виробницт­ва продукції згідно з оптимальним планом , однак таку саму суму грошей ( ) воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами . За умов використання інших планів на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її вироб- ництво.

Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задач). Для того, щоб плани X^* та Y^* відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості: .

Наслідок. Якщо в результаті підстановки оптимального плану однієї із задач (прямої чи двоїстої) в систему обмежень цієї задачі і-те обмеження виконується як строга нерівність, то відповідна і-та компонента оптимального плану спряженої задачі дорівнює нулю.

Якщо і-та компонента оптимального плану однієї із задач додатна, то відповідне і-те обмеження спряженої задачі виконується для оптимального плану як рівняння.

Економічне тлумачення другої теореми двоїстості щодо оптимального плану Y^* двоїстої задачі: у разі, коли деяке j-те обмеження виконується як нерівність, тобто всі витрати на виробництво одиниці j-го виду продукції перевищують її ціну с_j, виробництво такого виду продукції є недоцільним, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції дорівнює нулю.

Якщо витрати на виробництво j-го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції , то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі .

Теорема (третя теорема двоїстості). Компоненти оптимального плану двоїстої задачі дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції за відповідними аргументами , або

Економічний зміст третьої теореми двоїстості. Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. Якщо взяти як приклад виробничу задачу, то цікавим є питання: як змінюватиметься значення цільової функції за зміни обсягів різних ресурсів.

Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу .