45.Метод наибольшего правдоподобия для оценки параметров распределения.

Метод наибольшего правдоподобия в математической статистике — это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия.

Пусть есть выборка из распределения , где -неизвестный параметр. Пусть - функция правдоподобия. Точечная оценка

называется оцеенкой наибольшего правдоподобия параметра θ. Таким образом оценка максимального правдоподобия — это такая оценка, которая максимизирует функцию правдоподобия при фиксированной реализации выборки.

46. Метод наибольшего правдоподобия для биноминального распределения

Биномиальное распределение имеет дискретная случайная величина X, если она принимает значения 0, 1, …, n со следующими вероятностями: где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p. Числовые характеристики биномиального распределения: m_Х =np, D_Х =nqp. Условия возникновения. Проводится n одинаковых независимых, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Случайная величина Х – число опытов, в которых произошло событие А (см. теорему о повторении опытов).

47. Метод наибольшего правдоподобия для пуассоновского распределения

Распределение Пуассона имеет дискретная случайная величина Х, если она принимает значения 0, 1, …, ∞ со следующими вероятностями: где a – параметр распределения (a > 0). Числовые характеристики пуассоновской случайной величины: m_Х =a, D_Х =a. (6.7) Условия возникновения: 1. Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального, когда число опытов n неограниченно увеличивается, а вероятность p события A в одном опыте стремится к 0, так что существует предел . 2. Случайная величина Х – число событий пуассоновского потока поступивших в течение интервала τ, причем параметр а = τλ, где λ – интенсивность потока.

МЕТОД НАИБОЛЬШЕГО ПРАВДОПОДОБИЯ! ! !

Согласно данному методу оценки , …, получаются из условия максимума по параметрам Q1, ..., Qm положительной функции правдоподобия L(x1,...,xn,Q1,...,Qm). Если случайная величина X непрерывна, а значения xi независимы, то L(x₁,…,x_n, Q₁,…, Q_m )= Если случайная величина X дискретна и принимает независимые значения xi с вероятностями p(X =xi)= pi(xi,Q1,...,Qm), то функция правдоподобия равна L(x₁,…,x_n, Q₁,…, Q_m )= Система уравнений согласно этому методу может записываться в двух видах: i=1, 2, …, m, или i=1, 2, …, m.

Найденные корни выбранной системы уравнений являются оценками , …, неизвестных параметров Q1, ..., Qm.

48.Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Рассматривается пример поиска методом максимального правдоподобия оценки параметра экспоненциального распределения случайной величины,для которой функция плотности имеет вид К характеристикам экспоненциального распределения относятся математическое ожидание и дисперсия : Построить доверительный интервал с надежностью g =1– a для оценки m ₁ математического ожидания m₁ случайной величины х, имеющей экспоненциальное распределение с функцией плотности f(x, l) = lехр(– lх).

Решение. Известно, что для экспоненциального закона распределения математическое ожидание т₁ = 1/l, а дисперсия т₂ = 1/l². Обозначим через l оценку параметра l. Определим оценку математического ожидания m ₁, вспомогательную переменную у, производную от логарифма функции правдоподобия:

m ₁ = (х₁+ х₂+ … + х_п)/п = 1/l ; М(l ) = l; т₁ = М(1/l );

у = ;

Оценка m ₁ параметра т₁ является состоятельной и несмещенной, следовательно: М(у)=М(l ^–1 – х) = 0; значение А² = М(l ^–1 – х)² =l ^–2 конечно. Тогда случайная величина

w =

распределена нормально с параметрами 0 и 1.

Нормальное распределение симметрично, поэтому границы интервала следует выбрать симметрично относительно нулевой точки. Вероятность g =1 – a того, что модуль величины w не превысит некоторого заданного значения d , составит

где Ф(d ) – значение функции нормального распределения в точке d Величина d равна квантили u_{1–a /2} стандартного нормального распределения уровня 1– a /2. Значение абсолютной погрешности оценивания E = | m₁ – m ₁| =d /(l n^0,5) = u_{1– a /2} /(l n^0,5). Итак, имея достаточный объем выборки ЭД и задаваясь определенным уровнем надежности g можно определить доверительный интервал t₀ = m ₁ – Е, t₁ = m ₁ + Е, который с заданной вероятность содержит неизвестный параметр т₁. Аналогичные результаты для некоторых параметров распределения можно получить, используя более простые рассуждения.