1.6 Компьютерная геометрия и графика
1. Уравнение прямой по точке и вектору нормали
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х1 ¹ х2 и х = х1, еслих1 = х2.
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор (a1, a2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa1 + Вa2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Нормальное уравнение прямой
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим
xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Угол между прямыми на плоскости
Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2.
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
2. Общее уравнение плоскости имеет вид
.
Построение плоскости означает определение параметров . Все другие виды уравнения плоскости легко получить из общего уравнения.
Рассмотрим простейший способ вычисления параметров .
Пусть заданы точка , лежащая на искомой плоскости, и вектор , ортогональный искомой плоскости.
Для поиска параметров воспользуемся тем, что вектор ортогонален любому вектору , лежащей на искомой плоскости.
Из условия ортогональности векторов (их скалярное произведение равно нулю: ) получаем:
Здесь .
Нормированное уравнение плоскости
из общего уравнения получается путем замен
.
Знак μ выбирается противоположным знаку D.
Здесь (α, β, γ) – направляющие углы вектора, перпендикулярного искомой плоскости (этот вектор направлен от начала координат в сторону плоскости), и p – расстояние от начала координат до плоскости.
Так же легко получить уравнение плоскости в отрезках, если известны три отрезка , отсекаемые плоскостью на осях координат:
.
Это уравнение легко можно получить и из общего уравнения, приняв:
a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C.
Рассмотрим более сложные в смысле расчетов построения плоскости.
Известна аксиома – через три разные точки , и можно построить единственную плоскость.
Есть разные способы построения этой плоскости.
Способ 1. Векторы и параллельны искомой плоскости. Их векторное произведение ортогонально искомой плоскости.
Тогда получили задачу построения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Это построение рассмотрено выше.
Способ 2. Использовать компланарность векторов , и :
.
Раскрыв этот определитель, можно получить общее уравнение плоскости:
Здесь
,
,
,
Условие компланарности является универсальным методом построения плоскости при различных исходных данных.
3. Понятие пространственной прямой связано с понятием плоскости. Например, прямой является линия пересечения двух плоскостей (аксиома стереометрии). Рассмотрим способы описания прямой.
Способ 1. Общее уравнение прямой представляет собой систему из двух уравнений пересекающихся плоскостей:
Способ 2. Через точку можно построить прямую параллельно некоторому вектору . В этом случае уравнение называется каноническим и имеет вид:
и является условием коллинеарности двух векторов:
Если направляющий вектор перпендикулярен какой-либо координатной оси, то соответствующая координата вектора равна нулю. Запись канонического уравнения является символической, и деление на ноль не требуется.
Началом вектора является известная по условию точка искомой прямой L, а концом - произвольная точка этой прямой.
По этому же способу можно построить каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и . Для этого в предыдущем построении достаточно принять или, что то же самое, . В итоге получим:
.
Переход от общих уравнений к каноническим требует некоторого усилия. Рассмотрим идею такого перехода. Параметры системы уравнений
представляют собой два вектора и , перпендикулярных к обеим плоскостям. Очевидно, что векторы и перпендикулярны и прямой, лежащей на пересечении этих плоскостей. Найдем вектор , который перпендикулярен векторам и . Самый простой способ – это построить их векторное произведение :
Отсюда вытекает:
.
Найдем точку , через которую проходит прямая. Очевидно, что эта точка должна лежать на пересечении плоскостей. Поэтому запишем:
Для определения трех неизвестных имеем всего два уравнения. Здесь можно поступить следующим простым способом.
Принять и решить систему
Если решение существует, то точка найдена. Иначе, переходим в пункт 2.
Принять и решить систему
Если решение существует, то точка найдена. Иначе, переходим в пункт 3.
Принять и решить систему
Если решение существует, то точка найдена. Иначе, искомая прямая не существует, например, исходные плоскости не пересекаются.
Из канонического уравнения можно получить параметрическое уравнение прямой, приравнивая каждую дробь в отдельности некоему параметру t. Затем из этих трех равенств выражают координаты (x,y,z) точек описываемой прямой: