7.Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биномиальное распределение. Формула Пуассона

Последовательные испытания наз-ся независимыми, если вероятность осущ-я любого исхода в n-ом по счету эксперименте не зависит от исходов предыдущих испытаний.

Схема испытаний Бернулли:

1. послед-ть независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех»);

2. эксперимент проводится n раз в неизменных усл-ях, т.е. вероятности «успеха»(p) и «неуспеха»(1-p=q) неизменны.

n-число испытаний, k-число благоприятных исходов, событие А – «успех», Х – случ.величина, обозначающая число «успехов» в n испытаниях по сх. Бернулли (Х=0,1,2,…n).

- формула Бернулли, где C_n^k-число случайного размещения события А в послед-ти из n мест.

Соответствующее распр-е случ.вел.Х наз-ся биномиальным распр-ем. Свойства бином.распр-я:

1. ;

2. -матем.ожидание

3. -дисперсия.

Приближенная формула Пуассона: . При , при условии

(-интенсивность потока): = = ; .

• 9.Производящие функции вероятностей.

• G(z)=P₀+P₁z+P₂z+…+P_kz^k…=M[z^k]

• G(1)= (кси) =1

• G’(z)=P₁+2P₂z+3P₃z²+…+ KP_Kz^k-1

• G’(1)=M[x]=m

• G”(z)=2P₂+6P₃z+…+k(k-1)P_kZ^k-2

• G”(1)=∑k²P_k - ∑kP_k

• _{k=0 k=0}Биномиальное распределение

• X=0,1,2,…n –бином-ое распредел.

• Pk=P[x=k]=C^k_nP^kq^n-k

• G(z)=P₀+P₁z+P₂z+…+P_kz^k…=∑ C^k_nP^kq^n-kz^k=

• =∑ C^k_n(pz)^kq^n-k=(pz+q)ⁿ

• G’(z)=n(pz+q)^n-1p

• G’(1)=M[x]=np

• G”(z)=n(n-1)( pz+q)^n-2p²

• G”(1)=n(n-1)p²

• M[x]=np = ∑kP_k D[x]=npq = ∑(k-np)²P_k

• Распределение Пуассона

• P_k=P[x=k]= (λ^k\k!)e^-λ

• G(z)= ∑(λ^k\k!)e^-λz^k=e^-λ∑( λz)^k\k!= e^-λ e^zλ= e^λ(z-1)

• G’(1)= e^λ(z-1) λ

• G’(1)= λ= M[x]=m

• G”(z)= e^λ(z-1) λ²

• G”(1)= λ²

• M[x]=λ D[x]= λ²+ λ- λ²= λ

8.Распределение Пуассона

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности

,

где

• обозначает факториал

• — основыние натурального логарифма

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .

Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда

.

• Пусть , и . Тогда условное распределение при условии, что , биномиально. Более точно:

.

11.Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения, и их Свойства. Механическая интерпретация. Свойства мат. Ожидания и дисперсии. Квантили. Мода. Медиана. Асимметрия и эксцесс. Случайная величина Х называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная частично-непрерывная функция f(x) , удовлетворяющая для любых значений x равенству (случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал). f_x - плотность распределения вероятностей (плотность распр-я единичной массы на инт-ле). Св-ва:

е сли x [a;b]: 1. f(x)>=0; 2. ; ;

е сли : 1. f(x)>=0; 2. ; - норм.распр-е.

F(x) – ф-я распределения для непрер.случ.величин, определена на всей числовой оси, ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х. Свойства:

1. 0 <=F(X)<= 1

2. F(- )=0

3. F(+ )=1

4. F(X)-неубыв.ф-я

5. 

6. F(X)=dF(X)/dx

7. - вер-ть попадания в отрезок [c;d].

Мат.ожидание: , , где f(x)dx=P[x<X<x+dx] – элемент вер-ти. Свойства:

1. M[cX]=cM[X]

2. M[c+X]=c+M[X]

3. M[X+Y]=M[X]+M[Y]

4. = ,

Дисперсия: , .

Начальный момент k-го порядка - ;

Центральный момент k-го порядка - .

Асимметрия - , где - ср.квадратич.отклонение

Эксцесс – хар-ет форму распред-я в окрестности вершины

К вантиль – абсцисса (точка на оси х), которая слева от себя отделяет площадь под графиком плотности, равную Р. F(x_p)=P – порядок квантили. 1. ; 2. . Квантиль порядка 0,5 – х_0,5 – для любого распр-я наз-ся медианой (h) (отделяет ½ площади под плотностью слева и справа). Если распр-е симметрично, то h совпадает с мат.ож. m.

Мода (d) – абсцисса, при кот. плотность распр-я имеет максимум: f(d)=max

- моды нет (несколько лок.максимумов)