- •Содержание
- •Введение
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Тематический план дисциплины
- •Программа курса
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •Тема 2. Элементы математического анализа.
- •Тема 3. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
- •Планы аудиторных занятий
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины и по организации самостоятельной работы студентов
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.2.Действия над матрицами.
- •1.3.Системы линейных уравнений.
- •Элементы аналитической геометрии
- •Тема2 Элементы математического анализа
- •2.1. Функции одной переменной. Элементарные функции (фоп)
- •2.2. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •2.3. Дифференцируемые функции одной переменной
- •2.4. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства
- •Интегрирование функций. Таблица основных формул интегрирования
- •2.5. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, замена переменной Непосредственное интегрирование
- •Определенный интеграл
- •Методы интегрирования
- •Тема 3. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
- •Основные понятия теории вероятностей
- •Понятия пространства элементарных событий и случайного события. Основные формулы комбинаторики
- •2. Геометрическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины
- •3.3.Элементы математической статистики
- •Примеры контрольных заданий.
- •Литература
- •Вопросы для подготовки к экзамену
3.2. Случайные величины
Опорный конспект
14.1. Дискретные и непрерывные СВ. Закон распределения О: СВ , , . Дискретная СВ . Непрерывная СВ . О: Ряд распределения дискретной СВ – табл.: . О: Функция распределения СВ : , . О: Плотность распределения непр.СВ: , , , |
14.3. Примеры распределений дискретных и непрерывных СВ. О: Равномерное распределение дискр. СВ , . , . О: Биноминальное распределение СВ , ; определены в п. 13.5. , . О: Распределение Пуассона СВ , , определено в п. 13.5 . О: Равномерное распределение непрерывной СВ , , , , . О: Нормальное распределение СВ , , . |
14.2. Числовые характеристики СВ. О: Математич. ожидание дискретной СВ , . Математическое ожидание непрерывная СВ с плотностью вероятности . Дисперсия СВ . Среднее квадратичное отклонение СВ . |
Закон распределения
Пусть с некоторым экспериментом связано пространство элементарных событий .
О: Случайной величиной (СВ) называется функция .
Рассмотрим СВ двух видов: дискретные и непрерывные. Область возможных значений дискретной СВ состоит из конечного или счётного числа точек, а область возможных значений непрерывной СВ является некоторым интервалом.
Примеры. 1) Дискретная СВ - число очков, выпавших при однократном бросании кости: .
2) Дискретная СВ – индикатор события :
3) Непрерывная СВ – отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе.
О: Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями.
Для дискретной СВ закон распределения может быть задан в виде ряда распределения или в виде функции распределения, для непрерывной СВ ‑ в виде функции распределения и плотности распределения.
Обозначим вероятность того, что примет значение .
О: Рядом распределения дискретной СВ называется закон распределения, заданный в виде таблицы значений и вероятностей ; : .
Графическое изображение, представленное на рис. 14.1, называется многоугольником распределения.
|
Рис. 14.1. |
Ряд распределения
О: Функцией распределения вероятностей СВ называется , , т.е. значение функции в т. равно вероятности того, что СВ .
Если для дискретной СВ построен ряд распределения, то функция распределения имеет вид:
её график – ступенчатая функция (рис.14.2).
|
Рис. 14.2. |
Функция распределения обладает следующими свойствами:
10. - неубывающая функция;
20. .
Г рафик непрерывной СВ имеет вид кривой, изображённой на рис. 14.3.
|
Рис. 14.3. |
О: Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения) для функции распределения непрерывной СВ называется функция такая, что .
Так как неубывающая функция, то .
На основании формулы Ньютона-Лейбница:
. (14.1)
Используя определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования, функцию можно записать через плотность распределения :
.
Формула справедлива и в случае конечного числа точек разрыва 1 рода функции . Из достоверности события имеем
.
Числовые характеристики случайных величин
Для характеристики среднего значения СВ вводится математическое ожидание.
О: Математическим ожиданием дискретной СВ с законом распределения называется
. (14.2)
О: Математическим ожиданием непрерывной СВ с плотностью распределения называется
(14.3)
Математическое ожидание имеет следующие свойства:
10. Математическое ожидание постоянной равно ей самой: , .
20. , .
30. .
Если задана дискретная СВ с законом распределения , то математическое ожидание определяется как в случае абсолютной сходимости ряда справа. В противном случае СВ не имеет математического ожидания.
Для характеристики степени разбросанности значений СВ около её среднего значения вводится дисперсия.
О: Дисперсией СВ называется
. (14.4)
О: Средним квадратичным отклонением СВ называется
. (14.5)
Используя (14.2) и (14.4) получаем для дискретной СВ формулу .
Для непрерывной СВ с плотностью вероятности из (14.3) и (14.4) имеем .
Используя свойства , запишем в другом виде:
(14.6)
Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам:
10. , .
20. , .
Свойства следуют из формулы (14.6) и свойств 10, 20 математического ожидания.
Примеры.
1) Бросается игральная кость.
. .
.
2) Вращающееся симметричное колесо останавливается вследствие трения. Угол , образованный некоторым фиксированным подвижным радиусом колеса с неподвижным радиусом после остановки колеса есть случайная величина с плотностью распределения:
Тогда, ,
, .
Примеры распределений дискретных и непрерывных СВ
1. Примеры распределения дискретной СВ
О: Распределение дискретной СВ называется равномерным, если оно задаётся рядом .
Для равномерного распределения по (14.2), (14.6): , .
Пример такого распределения приведён в п. 14.1.
О: Распределение дискретной СВ называется биномиальным, если оно задаётся рядом
,
где и имеют тот же смысл, что и для схемы испытаний Бернулли.
Для биномиального распределения СВ математическое ожидание .
Дисперсия для биномиального распределения вычисляется по формуле .
Пример. Бросается игральная кость 10 раз. Событие - появление некоторой цифры, например 1, при каждом бросании, СВ - число возможных наступлений при десяти бросаниях кости. Тогда:
, , , , .
О: Распределение дискретной СВ называется распределением Пуассона, если оно задано рядом
, , и удовлетворяют тем же условиям, что и в формуле Пуассона.
Для распределения Пуассона .
2. Примеры распределений непрерывной СВ
О: Непрерывная СВ , все возможные значения которой заполняют отрезок , называется равномерно распределённой, если её плотность вероятности на , .
Так как , то , т.е плотность равномерного распределения
График плотности распределения изображён на рис. 14.4.
|
Рис. 14.4. |
Дисперсию получим по (14.6), используя . .
Вероятность попадания СВ не отрезок находится по формуле (14.1): .
Пример. Непрерывная СВ имеет равномерный закон распределения на . Определить: 1. Вероятность попадания в ; 2. , .
Решение. По условию плотность распределения Отсюда 1) ; 2). ; .
О: Непрерывная СВ называется нормально распределённой, если её плотность распределения , , , - некоторые постоянные.
Функция нормального распределения ,
где смысл параметров и : , и следовательно, ‑ среднеквадратичное отклонение.
|
Рис. 14.5. |
Пусть необходимо найти вероятность того, что СВ попадёт в промежуток . По (14.1)
. Нечётная функция называется функцией Лапласа. Имеются таблицы значений этой функции. Тогда:
. (14.7)
Пример. СВ имеет нормальное распределение с параметрами , . Определить .
Решение. По таблице значений функции Лапласа находим , , т.е. по (14.6) .