- •Часть 2. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка Лекция 11. Уравнения в частных производных первого порядка
- •11.1. Линейные и квазилинейные уравнения
- •11.2. Уравнения с переменными коэффициентами. Характеристики
- •11.3. Решение задачи Коши
- •12.2. Уравнение колебаний стержня
- •12.3. Уравнение теплопроводности и диффузии
- •12.4. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
- •Лекция 13. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка, приведение их к каноническому виду и нахождение общего решения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 14. Начальные и граничные условия
- •14.1. Начальные условия
- •14.2. Краевые задачи
- •Лекция 15. Решение задачи коши для волнового уравнения
- •15.1. Решение задачи Коши методом Даламбера
- •15.2. Решение задачи Коши для волнового уравнения методом Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 16. Решение граничных задач волнового уравнения
- •16.1. Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения свободных колебаний струны
- •16.2. Метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнения вынужденных колебаний струны
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 16 (продолжение). Задача о напряженном состоянии элемента вооружения долота режущего действия
- •Лекция 17. Уравнения теплопроводности (диффузии) и методы их решений
- •17.1. Методы решения задачи Коши
- •Задания для самостоятельной работы
- •17.2. Методы решения граничных задач
- •Лекция 17 (продолжение). Расчет глубины промерзания связанных горных пород
- •Лекция 18. Стационарные уравнения. Уравнение лапласа и методы его решения
- •18.1.Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа
- •18.2. Решения краевых задач для уравнения Лапласа в круге
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 19. Уравнение неразрывности и уравнения эйлера
- •19.1. Гипотеза сплошности
- •19.2. Установившееся и неустановившееся движения.
- •19.3. Уравнения гидродинамики и звуковых волн
- •19.4. Закономерности распространения плоских упругих волн
- •Лекция 20. Закономерности преломления и отражения плоских упругих волн на плоскости контакта твердых тел
- •Часть 4. Преобразование лапласа и его применение при решении дифференциальных уравнений Лекция 21. Преобразование лапласа
- •21.1. Преобразование Лапласа
- •21.2. Основные свойства преобразования Лапласа
- •21.3. Свертка функций
- •21.4. Оригиналы с рациональными изображениями
- •21.5. Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально)
- •21.6. Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности
- •Лекция 22. Практическое применение преобразования лапласа
- •22.1. Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •22.2. Использование преобразования Лапласа при решении уравнений в частных производных
- •Лекция 23. Миграционная подмодель радиогеоэкологической модели подземного регионального хранилища радиоактивных отходов и ядерных материалов
- •Вопросы к экзамену по дисциплине: «Дифференциальные уравнения в горном деле»
12.2. Уравнение колебаний стержня
Рассмотрим задачу об определении малых продольных колебаний упругого прямолинейного однородного стержня длиной l при t >0, считая, что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости перпендикулярной к оси стержня.
Рассмотрим рисунок, на котором изображен такой стержень.
Рисунок
Пусть ось х совпадает с направлением оси стержня и пусть х – координата сечения pq, когда оно находится в покое. Поскольку мы изучаем малые продольные колебания стержня, то это значит, что внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня. Обозначим через u(x,t) смещение этого сечения в момент t. В рамках нашего предположения о том, что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости перпендикулярной к оси стержня, смещения в точке х+∆х будет
.
Поэтому относительное удлинение стержня в сечении х будет равно ux(x,t). По закону Гука натяжение в этом сечении равно
,
где S – площадь поперечного сечения, Е – модуль упругости материала стержня.
Уравнение колебаний стержня получим, если приравняем нулю сумму всех сил, включая силы инерции, действующие на участок pq,p1q1. Равнодействующая сила равна
.
Пусть p(x,t) – объемная плотность внешних сил. Тогда на участок pq,p1q1 действует внешняя сила S p(x,t)∆x и сила инерции . Сумма всех сил по принципу Даламбера равна нулю, т.е.
. (12.6)
Отсюда находим
, (12.7)
кроме того, функция u(x,t) удовлетворяет начальным условиям
,
где - заданные функции. Если (стержень однородный), то уравнение (12.7) принимает вид
, (12.8)
где .
Таким образом, мы видим, что волновое уравнение (12.8) также описывает и малые продольные колебания стержня.
12.3. Уравнение теплопроводности и диффузии
Уравнение теплопроводности было получено при решении задачи о распространении тепла в неком стержне с плотностью x), удельной теплоемкостью с(x) и коэффициентом внутренней теплопроводности k. Вывод этого уравнения базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящее за время ∆t через малую площадку ∆S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой
, (12.9)
где n – нормаль к площадке, направленная в сторону передачи тепла, k(x,u) - коэффициент внутренней теплопроводности, u(x,t) – температура тела в точке в момент времени t.
Предположим, что тело изотропно в отношении теплопроводности. Тогда k(x,u) не зависит от направления площадки. Для вывода уравнения, которому удовлетворяет температура u(x,t), выделим внутри тела объем , ограниченный поверхностью S. Согласно закону Фурье количество тепла, втекающего в через поверхность S за промежуток времени [t1,t2], равно
.
Если F(x,t) – плотность тепловых источников, то количество тепла, образованное за их счет в за указанный промежуток времени равно
.
Общее количество притекшего в за время от t1 до t2 тепла можно подсчитать также и через приращение температуры:
,
следовательно, можно записать
, (12.10)
(при этом предполагается, что подинтегральная функция непрерывна). В силу произвольности и промежутка времени [t1, t2] из выражения (12.10) вытекает равенство
, (12.11)
т.к. , где ∆ - оператор Лапласа, то уравнение (12.11) можно записать в виде
, (12.12)
где .
Уравнение (12.11) или (12.12) называются уравнением теплопроводности. Для одномерного случая при f(x,t) = 0 оно имеет вид
. (12.13)
Вывод уравнения диффузии вещества в неподвижной среде, занимающей ограниченную область с границей Г, если задана плотность источников F(x,t) (диффузия происходит с поглощением, например, частицы диффундирующего вещества вступают в химическую реакцию с веществом среды), причем скорость поглощения в каждой точке пространства пропорциональна плотности диффундирующего вещества, основывается на законе Нэрнста, согласно которому количество вещества, проходящее за малый промежуток времени через малую площадку , равно
,
где D(x) – коэффициент диффузии, n – нормаль к элементу , направленная в сторону перемещения вещества. Пусть - коэффициент плотности среды.
Выделим некоторый объем с границей S и составим баланс количества вещества, пришедшего в за промежуток времени .
Количество вещества, пришедшего в через границу S, согласно закону Нэрнста равно
.
Количество вещества, образовавшегося в за счет источников, равно
.
Количество вещества в уменьшилось на величину
за счет поглощения среды (q(x) – коэффициент поглощения). Поскольку приращение количества вещества в за промежуток равно также
,
то
.
В силу произвольности объема и промежутка из полученного равенства вытекает
. (12.14)
Это и есть классическое уравнение диффузии.