4.След, векторный инвариант, определитель тензора. Теорема о представлении

кососимметричного тензора .

След (trace) тензора - число, получаемое заменой диадного

умножения на скалярное:

. (1.8)

Если тензор записан в координатном виде , то - сумма

элементов главной диагонали матрицы. В силу своего определения при любой замене базиса

след тензора не изменяется (скалярные произведения от базиса не зависят), поэтому его

называют первым инвариантом тензора.

Векторным инвариантом тензора называется вектор,

полученный заменой диадного произведения векторным:

или (1.9)

Векторный инвариант симметричного тензора, у которого равен нулю.

Что же касается кососимметричного тензора, то можно доказать теорему:

Теорема. Произвольный кососимметричный тензор может быть единственным

образом представлен в виде , (1.10)

где называется сопутствующим вектором тензора .

Доказательство. Поскольку , то и можем записать в виде

Найдем вектор и обозначим его : .

Поскольку координаты содержат по одной лишь компоненте тензора , а не их

комбинации, то сопутствующий вектор определяется через единственным образом.

Обратно, умножив , убедимся, что .

Определителем (детерминантом) тензора называется число:

, (1.11)

Очевидно, что определение (1.11) не зависит от системы координат и, более того, можно

доказать, что оно не зависит и от выбора тройки некомпланарных векторов . Запишем

тензор в виде и обозначим для простоты .Тогда

и с помощью (1.5) выражение (1.11) принимает вид определителя матрицы координат

тензора в ортонормированном базисе:

(1.12)

Определитель тензора имеет простой геометрический смысл. Обозначим ,

, . Тогда, вспомнив, что смешанное произведение – объем построенного

на перемножаемых векторах параллелепипеда, получим: -отношение

«деформированного и повернутого» объема к исходному.