Вопрос 3?
Билет 5 Теорема Безу и следствия из неё. Основная теорема алгебры.
Функция
вида f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
a0,a1,…,an
C(
поле комплексных чисел)называется
многочленом Nой
степени. Аn≠0
Теорем1:
f(x),g(x)
q(x),r(x)[f(x)=g(x)*q(x)+r(x),
степень r(x)<степени
g(x).Число
Х0
Является корнем многочлена если
f(x)f(x0)=0
Теорема Безу: При делении многочлена f(x) на разность Х-С получается остаток равный f(c).
F(x)=(x-c) q(x)+r(x) f(c)=(c-c)q(c)+r(c) =r(c)
Следствие: Если Х0 корень многочлена f(x) то f(x) делится на Х-Х0 без остатка. F(x0) =0 => то f(x)=(x-x0)q(x)
Основная теорема алгебры: Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы 1, имеет хотя бы 1 корень в общем случаи комплексный.
Следствие: Над полем комплексных чисел любой многочлен f(x) раскладывается на линейные множители т.е. справедливо равенство: f(x)=an(x-x1)...(x-xn) f(x)=(x-x1)f1(x) f1(x)=(x-x2)f2(x) …… fn-1(x)=(x-xn)fn(x)=const
F(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)fn(x)=an
Следствие2: всякий многочлен f(x) в степени n≥1 имеет ровно n корней если каждый корень считать столько раз какова его кратность.(сколько раз можно разделить число само на себя)
Теорема
4: если многочлен f(x)
с действительными коэффициентами имеет
комплексный кореньz=a+ib
то он имеет комплексный корень равный
= a-ib
=
)n
=
*
=
an*
+an-1
+…+
a1*
+a0=
f(
f(z)=
f(
=0
Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на многочлен с действительными коэффициентами 1ой и 2ой степени. F(x)=an(x-x1)…(x-xn)=(x-(a+ib))(x-(a-ib))=(x-a-ib)(x-a+ib)=(x-a)2-(ib)2 = x2-2ax+a2+b2 неприводимый многочлен D<0
Расстояние от точки до плоскости
d=|M0K|=|
-
|=|
|=
d=
d=
Доказать линейную зависимость:
Линейной зависимостью векторов а1,…,аn называется вектор α1а1+…+αnan где α1αn любые действительные числа
Если α1=α2=….=αn=0 то линейная комбинация – тривиальная
Система векторов а1,…,аn называется линейно зависимой если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная ненулевому вектору, в противно случаи система векторов - линейно независимая
Если b= α1а1+…+αnan , то говорят что b линейно выражается через а1,…,аn
(n≥2) Система векторов а1,…,аn называется линейно зависимой если хотя бы один из них линейно выражается через остальные, в противно случаи а1,…,аn линейно независима.
а1,…,аn – л.з.(n≥2) α1….αn не все равные 0 такие, что α1а1+…+αnan =0
Пусть α1≠0 α1а1= α2а2-…-αnan/: α1 а1= α2а2/ α1 -…-αn an/ α1 => а1= α2а2+…+αn an а1- α2а2-…- αn an=0
а1,…,аn л.з. 1) α1 ….αn не все =0 α1а1+…+αnan =0 2) n≥2 хотя бы один выражается через остальные
а1,…,аn л.н. 1) α1а1+…+αnan =0 α1=α2=….=αn=0 2) n≥2 ни один не выражается
Билет 6.Линейная зависимость и независимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве
Линейной зависимостью векторов а1,…,аn называется вектор α1а1+…+αnan где α1αn любые действительные числа
Если α1=α2=….=αn=0 то линейная комбинация – тривиальная
Система векторов а1,…,аn называется линейно зависимой если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная ненулевому вектору, в противно случаи система векторов - линейно независимая
Если b= α1а1+…+αnan , то говорят что b линейно выражается через а1,…,аn
(n≥2) Система векторов а1,…,аn называется линейно зависимой если хотя бы один из них линейно выражается через остальные, в противно случаи а1,…,аn линейно независима.
а1,…,аn – л.з.(n≥2) α1….αn не все равные 0 такие, что α1а1+…+αnan =0
Пусть α1≠0 α1а1= α2а2-…-αnan/: α1 а1= α2а2/ α1 -…-αn an/ α1 => а1= α2а2+…+αn an а1- α2а2-…- αn an=0
а1,…,аn л.з. 1) α1 ….αn не все =0 α1а1+…+αnan =0 2) n≥2 хотя бы один выражается через остальные
а1,…,аn л.н. 1) α1а1+…+αnan =0 α1=α2=….=αn=0 2) n≥2 ни один не выражается
Базис на плоскости:
Базисом на плоскости или в пространстве называется система л.з. векторов максимальная по включению взятых в определённом порядке
b1,…,
bn
- базис b1,…,
bn
,
a
– л.з. => β1b1+…+
βnbn+
αa=0
α≠0 a=-
b1-…-
bn
=α
=αn
a=
α1b1-
….-αnbn
(1)
Выражение (1) называется разложением вектора а по базису b1,…, bn числа α1,…, αn называются координатами а в базисе b1,…, bn
Теорема2 Разложение по базису единственно а=α1b1+ …+αnbb a’= α1’b1’+ …+αn’ bb’ => a-a’=0= (α1- α1’)b1+…+(αn-αn’) bn (α1- α1’)=0
(αn-αn’)=0 => α1= α1’ αn=αn’
Теорема3:Любые 2 некомпланарных вектора на плоскости образуют базис с=а1+b1 а1=αa b1 =βb c= αa+ βb 1)a,b – л.н. 2)а,b+c=> л.з.
Теорема: 3 некомпланарных вектора в пространстве образуют базис d=OK+OM OM=a1+b1= αa+ βb=>
d= αa+ βb OK=γc => a,b,c,d – л.з.