Вопрос 1

Пусть функция y = f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

существует ;
этот предел равен значению функции в точке х₀: .

Пусть функция y = f(x) определена в точке х₀ и некоторой её окрестности. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для 0 существует положительное число , такое что для всех х из -окрестности точки х₀ (т.е. если х- х₀) выполняется неравенство  f(x) - f(х₀) .

о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки t₀ и имеет , равный х₀. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х₀. Тогда существует , и .

Док-во. Возьмём 0. Так как f(x) непрерывна в точке х₀, то 0, такое что  х- х₀   f(x)- f(x₀). Так как существует = х₀, то для  0, такое что 0< t- t₀ 

  (t)- х₀. Таким образом, для 0 мы нашли такое 0, что из 0< t- t₀

  f(x)- f(x₀)=  f( (t))- f( ), что означает существование предела и равенство этого предела величине .

Примером является функция е ^ sinx/x

2 воопрос – не проходили!!!

Билет №31

Вопрос 1

множество действительных чисел, его полнота. Промежутки и окрестности. Принцип вложенных отрезков.

Множество R={x,y,z,…} действительных чисел - Под множеством (А,В,С) понимают собрание, соединение, совокупность по какому то признаку.

x+y=y+x;

(x+y)+z=x+(y+z);

Существует элемент 0R, что 0+х=х для хR;

Для каждого элемента хR существует такой элемент - х, что х+(- х)=0;

xy=yx;

(xy)z=x(yz);

Существует элемент 1R, что 1х=х для хR;. x(y+z)=xy+xz;

Для любых двух элементов хR, уR или ху, или ух;

Из x<=y и yz следует хz;

Из ху следует х+ z у+ z для любых х,у, z R;

0 х и 0 у следует 0 ху.

Аксиома о вложенных отрезках: если {[a_n, b_n]} - счётная последовательность отрезков, таких что a_n a_n₊₁ и b_n₊₁ b_n при n, то пересечение этой последовательности непусто, т.е.  хR: х[a_n, b_n] для n.

Определения.

Пусть R, >0. -окрестностью числа (точки) х₀ называется множество.

Вопрос 2

Годограф в механике, кривая, представляющая собой геометрическое место концов переменного (изменяющегося со временем) вектора, значения которого в разные моменты времени отложены от общего начала О

Механический смысл: скорость изменения вектора r(t) относительно параметра t

Билет №32

Вопрос 1

Число e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число (вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим).