- •Часть 1
- •Часть 1
- •Общие указания по выполнению расчетно-проектировочных работ
- •Используемые обозначения
- •1. Растяжение-сжатие
- •Основные понятия и формулы
- •1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения
- •1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2) Условие задачи
- •Решение
- •1.1.3. Определение грузоподъемности статически определимой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 3) Условие задачи
- •Решение
- •1.2. Расчет статически неопределимых стержневых систем Основные определения
- •Решение
- •1.2.2. Расчет статически неопределимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие (задача № 5) Условие задачи
- •Часть 2. Расчет по предельному пластическому состоянию. Требуется найти грузоподъемность (или подобрать сечения стержней) расчетом по предельному состоянию.
- •Решение
- •Часть 1. Для расчета конструкции по упругой стадии деформации необходимо составить три группы уравнений:
- •1.2.3. Определение грузоподъемности статически неопределимой шарнирно-стержневой конструкции (задача № 6) Условие задачи
- •Решение
- •2. Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния
- •Основные понятия и формулы
- •Напряжений на наклонной площадке Решение
- •Условие задачи
- •Решение
- •3. Кручение
- •Основные понятия и формулы
- •Решение
- •3.2. Расчет статически неопределимого вала при кручении (задача № 11) Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 1
1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения
Статически определимая стержневая система – это конструкция, состоящая из стержней, для определения внутренних усилий в которых достаточно уравнений статики. В данном разделе рассматриваются конструкции, стержни которых работают только на растяжение-сжатие, т. е. в каждом стержне возникает только одно внутреннее усилие – продольная сила N.
Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций, подробно о которых можно прочитать в [1, § 3.12]. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности можно записать в таком виде:
, (1.5)
где – максимальное напряжение в конструкции, определяемое по формуле (1.1); – характеристика материала, называемая допускаемым напряжением. Допускаемое напряжение находится по формуле
. (1.6)
В формуле (1.6) – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступает предельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала; n – нормируемый коэффициент запаса прочности.
Кроме формулы (1.5), возможен второй вариант условия прочности
, (1.7)
где
(1.8)
называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.
Порядок решения большинства задач о проверке прочности статически определимых стержневых систем при расчете по допускаемым напряжениям сводится к следующим этапам:
находим внутренние усилия (продольную силу при растяжении-сжатии) и выявляем опасные сечения;
определяем напряжения;
после выявления максимальных напряжений используем условие прочности (формулы (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии).
Из условия прочности:
либо находим грузоподъемность конструкции, т. е. ищем допускаемую нагрузку – максимальную нагрузку, обеспечивающую безопасную эксплуатацию конструкции;
либо подбираем сечения стержней, т. е. находим такие минимальные размеры поперечного сечения, которые обеспечивают безопасную эксплуатацию конструкции.
Если нагрузка на конструкцию задана и известны размеры поперечных сечений стержней, то просто проверяем прочность (по формулам (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии) и делаем вывод о возможности эксплуатации конструкции.
Примеры решения задач
1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного
растяжению-сжатию (задача № 1)
Условие задачи
Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей подвержен действию нагрузок, показанных на рис. 1.3, а. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности (1.5) или (1.7). (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)
Решение
Определяем продольную силу и строим эпюру распределения N вдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:
.
Рис. 1.3. К решению
задачи № 1:
а
– схема нагрузки на стержень;
б,
в –
эпюры продольной силы и напряжений
на первом участке ) ;
на втором участке ;
на третьем участке .
Ищем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго участка
,
в конце второго участка
.
Аналогично для третьего участка
, .
По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3, б эпюра N построена для следующих исходных данных: м, м; F1 = 10 кН, F2 = 40 кН, q1 = 15 кН/м, q2 = 20 кН/м.
Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются так же и в местах изменения поперечного сечения.
Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. 1.3, в, опасным является не только сечение в начале третьего участка , где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участка с максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:
для чугунной части
, откуда ,
и ;
для стальной части
, тогда .
Из трех значений A1, найденных из условий прочности в опасных сечениях выбираем то, которое удовлетворяет всем условиям. Значение А2 находим по заданному соотношению: .
Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.