Тема 6. Математика как инструмент в познании мира

Математика, её роль в познании. История математики: зарождение (Александрия, Вавилон, Древняя Греция, Индия, Китай), становление (Средняя Азия и Ближний Восток с 9 по 15 век), возрождение (Западная Европа с 12 по 15 век), развитие 16 век, бурное развитие математики и естественных наук с 17 века.

Математика (греч – знание, наука) наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Математика с помощью формул позволяет описать реальный мир, ее законы. Она является своеобразным языком, без которого не в состоянии изъяснятся ни один естествоиспытатель.

Математические методы позволяют перейти в процессе познания на более высокую и качественную новую ступень. Абстрактность математики не означает её отрыва от материальной действительности. Полученные при помощи математического анализа следствия (предсказания) осуществляются в действительности. Компьютеры повысили возможности численных методов для решения практических задач и исследований, связанных с обработкой статистической информации.

История математики

Зарождение математики связано с удовлетворением простых запросов хозяйственной жизни: счет предметов, измерение количества продуктов и площадей земельных участков, размеров архитектурных сооружений, измерение времени и длины дороги (арифметика, геометрия, алгебра). Астрономия и навигация требовали развития тригонометрии

Ясное понимание самостоятельности положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточного большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции (Эллада).

Аристотель (384-322 до н.э., «Метафизика») : « . . . математические искусства были созданы прежде всего в Египте, ибо там было предоставлено жрецам время для досуга.» Говоря современным языком для науки необходимо финансирование (государственное, коммерческое).

Александрия (Аль-Искандария) город и порт в Египте, на Средиземном море. Основан в 332-331 до н.э. Александром Македонским. В период с 305 – 30 до н.э. столица Египта и центр эллинистической культуры. Александрийский мусейон (греч. museion – храм муз) центр науки и культуры древности (арифметика, геометрия – вычисление площадей и объемов, π=(16/9)² =3,16 , астрономия). На протяжении 7 веков Александрия являлась центром научных и математических исследований. Со своим «музеем» и государственном покровительстве стала первым научно-исследовательским институтом. При нем в начале 3 века до н.э. основана Александрийская библиотека – крупнейшее в древности собрание рукописных книг (до 700 тысяч томов). Часть сгорела в 47 до н.э., часть уничтожена в 391 н.э. во время междоусобной войны, остатки в 7 веке. В 7 веке Александрия перешла под власть арабов.

В Вавилоне (древний город в Месопотамии, к юго-западу от современного Багдада, 19–6 века до н.э.) знали десятично-шестидесятеричную позиционную систему нумерации, начало алгебры, тригонометрия. Сохранились сложные расчеты по хозяйственной и храмовой деятельности. Расчеты процентов по долгам. Решение уравнений первой и второй степеней, умели суммировать арифметические и геометрические прогрессии. В Библии рассказ о попытке построить после Всемирного потопа башню до небес. Разгневанный дерзостью людей Бог «смешал их языки» и рассеял по всей земле.

Древняя Греция – системное изложение математики. Архимед (3 век до н.э.) рассчитывает метательные машины (требования военной техники),– исследует равновесие и устойчивость плавающих тел (запросы мореплавания), Аристарх Самосский (конец 4 - начало 3 века до н.э.) высказывает идею о движении Земли вокруг Солнца (было на долгие века было отвергнуто).

Индия – 7 век до н.э. – 12 век. Теорема Пифагора была известна и применялась раньше Вавилона и Древней Греции. Индийцам принадлежат две основные заслуги: введение десятичной позиционной системы счисления и употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употребляемых в Индии цифр, называемых «арабскими», не выяснено.

Китай - «Математика в девяти книгах» написана во 2 веке до н.э. по более ранним источникам (техника вычислений, алгебраические методы). В 5 веке определено π в пределах 3,1415926<π<3,1415927. Разработаны методы решения уравнений до четвертой степени.

Связи между математиками Индией, Китая, Древней Греции и Вавилона не определены.

Средняя Азия и Ближний Восток 9– 15 вв. Арабские завоевания и объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому, что в течении 9 – 15 веков ученые Средней Азии, Ближнего Востока, Северной Африки и Пиренейского полуострова пользовались главным образом арабским языком. Наука развивалась в мировых торговых городах, в условиях широкого международного общения и государственной поддержки больших научных начинаний. В 15 веке при дворе Улугбека в Самарканде в обсерватории трудилось более ста ученых. После них остались долгое время непревзойденные по точности астрономические наблюдения, математические таблицы и многое другое. В Багдаде был «Дом мудрости» - своего рода академия. Его представитель Мухаммед бен Мусса аль-Хорезми. Термин «алгебра» происходит от его сочинения «Аль-джебр» (9 век). По нему, например, европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. В 10 веке Аль-Баттани и Абу-ль-Вефа ввели все шесть тригонометрические функции, вычислили таблицы синусов и тангенсов через 10 минут. Существенный вклад в развитие науки математиков, писавших на арабском языке и живших на территории Средней Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских). Омар Хайям составил комментарии к «Началам» Евклида со строгим доказательством теорем. Омар ибн Ибрахим ал-Хайям (1048-1123) – ученый средневековья, астроном, математик, физик и философ. При жизни награжден почетным титулом «Царь философов Запада и Востока». Изучил в оригинале и развил труды Птолемея, Архимеда, Евклида, Аристотеля и Авиценна. Известен как автор рубаи (афористическое четверостишие, древнейшая форма персидской поэзии).

Западной Европе открытия древнего мира, в том числе Индии и Древней Греции стали известны по арабским переводам. С 12 по 15 века основными центрами теоретической научной мысли становятся университеты. С появлением книгопечатания появляются переводы греческих и арабских авторов, учебники, и такие как коммерческая арифметика.

В 16 веке начинается превосходство Западной Европы над древним миром и Востоком. До начала 17 века математика - преимущественно наука о числах и сравнительно простых геометрических фигурах. Рассматриваемые ею величины рассматриваются как постоянные. Появляются простейшие приемы математического анализа.

В России, в силу исторических обстоятельств, только в начале 17 века появляются рукописные руководства по математике, необходимые для торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства. Наиболее древнее математическое произведение принадлежит новгородскому монаху Кирику 1136. Знаменитая «Арифметика . . . » Леонтия Филипповича Магницкого появилась в 1703. (Л.Ф. Магницкий 1660-1739, преподаватель математики в Школе математических и навигационных наук в Москве с 1701, автор первого русского печатного руководства «Арифметика . . . » - энциклопедии математических знаний того времени.)

Развитие математики и естественных наук с 17 века

Потребности бурного развития естествознания и техники (мореплавания, баллистики, гидравлики и т.д.) в 17 – 18 веках привело к появлению математики переменных величин и функциональных зависимостей, дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, теории множеств, математической логики, . . .

В 19 и 20 веках созданные разделы математики продолжают интенсивно развиваться. Расширяется круг задач решаемых естествознанием и техникой. Комплексные числа и функции комплексного переменного, неевклидова геометрия, векторное и тензорное исчисление, операционное исчисление, теория вероятностей, статистические методы, теория множеств, теория игр и т.д. Математические методы обеспечивают поиск наилучшего управления сложных систем, оптимальное управление в конфликтных ситуациях, на основе возможностей вычислительной техники обработку больших объемов информации.

Математика в современном объеме порождена естественными, техническими и экономическими науками, «обслуживает» их, развивается вмести с ними и имеет свою внутреннюю логику развития.

Вопросы для самоконтроля по Теме 6

1. Условие необходимые для развития математики, науки.

2. Задачи, решаемые математикой.

Словарь терминов по Теме 6

Катапульта – метательная машина, приводимая в действие силами упругости скрученных сухожилий, ремней и т.д. Применялась с 5 века до н.э. для метания камней по крутой траектории на дальность свыше 250 метров.

Математический институт (МИРАН) имени В.А. Стеклова РАН, организован в Москве на базе Физико-математического института АН. Исследования по основным проблемам современной теоретической математики и ряду её приложений.

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений.

Математическая физика – разрабатывает методы решения задач, находящихся на стыке математики и физики.

Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Математическая логика – дедуктивная логика, включающая математические методы исследования способов рассуждений (выводов); математическая теория дедуктивных способов рассуждений.

Математическое программирование – раздел математики, посвященный теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых некоторыми ограничениями (равенствами или неравенствами).