1. Равномерное движение

Рассмотрим равномерное движение материальной точки с постоянной по модулю скоростью const. по произвольной траектории. Из определения модуля скорости следует, что элементарный путь, который материальная точка проходит за время dt:

.

Интегрируя, получим закон зависимости пройденного пути от времени наблюдения t:

Константу интегрирования C определим из начальных условий. Если в начале наблюдения при t = 0 путь материальной точки , тогда , а закон зависимости пути от времени наблюдения принимает вид:

Если в момент времени t = 0 пройденный путь , тогда

.

Равномерное движение не означает дви­жения без ускорения, поскольку при криво­линейном равномерном движении матери­альная точка обладает нормальным ускорением . Равна нулю только тангенциальная компонента ускорения, поскольку скорость не меняется по величине. Для равномерного движения

Рис. 1.11.

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности (Рис 1.11). Расположим начало координат в центре этой окружности. В случае равномерного движения радиус-вектор прецессирует с угловой скоростью и, согласно уравнению прецессии, Вектор скорости материальной точки также прецессирует с угловой скоростью Тогда вектор нормального ускорения . Применяя свойство двойного векторного произведения , получим Так как векторы и взаимно перпендикулярны, первое слагаемое равно нулю, и .

2. Равномерное прямолинейное движение

Пусть материальная точка движется равномерно по прямолинейной траектории. Тогда вектор мгновенной скорости остается постоянным не только по модулю, но и по направлению. Согласно определению вектора мгновенной скорости элементарное перемещение за время dt: . Интегрируя это выражение, найдём зависимость радиус-вектора движущейся материальной точки от времени наблюдения

К онстанту интегрирования C определим из начальных условий: если в начале наблюдения при t = 0 положение материальной точки определялось радиус-вектором (рис. 1.12), то , а зависимость радиус-вектора от времени принимает вид

Рис. 1.12.

.

В проекциях на оси координат .

В случае движения в одном направлении ось x обычно проводят по траектории прямолинейного движения, тогда пройденный материальной точкой путь

1.5.3. Движение по произвольной траектории с постоянной тангенциальной составляющей вектора ускорения aτ.

Определим зависимость модуля скорости от времени наблюдения, используя определение тангенциальной составляющей ускорения . За промежуток времени dt изменение модуля скорости . Интегрируя, получим: .

Константу интегрирования C определим из начальных условий: если в момент начала наблюдения при t = 0 материальная точка обладала скоростью, по модулю равной , тогда , а зависимость модуля скорости от времени наблюдения: .

Г рафик этой зависимости показан на рисунке 1.13.

Аналогично определим зависимость пройденного пути от времени наблюдения. Из определения модуля скорости выразим элементарный путь . Интегрируя, получим

Рис. 1.13.

,

Константу интегрирования определим из начальных условий: если в момент времени t = 0 путь s = 0, тогда C = 0, а зависимость пути от времени принимает вид:

К такому же результату можно прийти, используя график зависимости скорости от времени . Путь, пройденный материальной точкой за время t, соответствует площади под графиком скорости. На рис. 1.13 эта площадь показана штриховкой. Видно, что она равна сумме площадей прямоугольника OACD и треугольника АВС. Площадь прямоугольника равна , площадь треугольника . Таким образом,

Всю заштрихованную площадь можно также представить как площадь трапеции OABD, равную произведению полусуммы оснований и на высоту t, тогда (1.4)

Из (1.2) выразим время, , и подставим его в (1.4), тогда и