17. Механическая энергия и её сохранение.

Рассмотрим процесс изменения состояния тела, поднятого на высоту h. При этом его потенциальная энергия Тело начало свободно падать  . Из кинематики известно, что момент достижения поверхности земли оно будет иметь скорость   и кинетическую энергию: Кинетическая энергия тела, упавшего с высоты h, оказалась равной его потенциальной энергии, которую оно имело до начала падения. Следовательно: На поверхности Земли h=0 и потенциальная энергия  , а  -максимальна. В начале падения  , а  т.е. потенциальная энергия переходит (превращается) в кинетическую. Таким образом, при падении тела в системе тело-Земля кинетическая энергия возрастает и, следовательно, ее изменение   равное работе  , имеет положительный знак, т.е. Потенциальная энергия - уменьшается, и, следовательно, ее изменение имеет знак минус. Поэтому можем записать: Сложив (4.12) и (4.13), получим или  Сумма   представляет собой полную энергию, и, следовательно, , а Таким образом, энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной при всех, происходящих в ней процессах и превращениях. Энергия может переходить из одних видов в другие (механические, тепловые, и т.д.), но общее ее количество остается постоянным. Данное положение называют законом сохранения и превращения энергии.

18. Соударение тел. Абсолютно упругий и неупругий удары.Абсолютно неупругим ударом, называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело. Сталкивающиеся тела деформируются, возникают упругие силы и т.д. Однако если удар неупругий то, в конце концов все эти процессы прекращаются, и в дальнейшем оба тела, соединившись вместе, движутся как единое твёрдое тело.Рассмотрим абс. неупругий удар на примере столкновения двух шаров. Пусть они движутся вдоль прямой, соединяющей их центры, со скоростями v₁ и v₂. В этом случае говорят что удар является центральным. Обозначим за V общую скорость шаров после соударения. Закон сохр. Импульса даёт:m₁v₁+m₂v₂=(m₁+m₂)V V=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂)Кин. энергии системы до удара и после: K₁=1/2(m₁v₁²+m₂v₂²) K₂=1/2(m₁+m₂)Vпри столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кин. энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведённой массы на квадрат относительной скорости.Абсолютно упругим ударом называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются. Пример: Столкновение бильярдных шаров из слоновой кости, при столкновениях атомных, ядерных частиц. Рассмотрим центральный удар двух шаров, движущ-ся навстречу друг другу:(m₁v₁²)/2+(m₂ v₂²)/2=(m₁u₁²)/2+(m₂ u₂²)/2 и:m₁v₁+m₂v₂=m₁u₁+m₂u₂ u1=[(m₁-m₂)v₁+2m₂v₂]/(m₁ +m₂) 2=[(m₂-m₁)v₂+2m₁v₁]/(m₁+m₂)При столкновении двух одинаковых абсолютно упругих шаров они просто обмениваются скоростями.

19. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела.

Рассмотрим движение твердого тела, имеющею ось вращения   под действием произвольно направленной силы  , приложенной к телу в некоторой точке А , которую можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную (рис.5.1). Вертикальная составляющая может вызывать перемещение тела в направлении оси вращения поэтому при рассмотрении вращательного движения ее можно исключить.Горизонтальная составляющая  , если она не пересекается с осью   вызывает вращение тела. Действие этой силы зависит от ее числового значения и расстояния линии действия от оси вращения. Пусть на тело, в плоскости перпендикулярной оси вращения   действует сила   (рис.5.2). Разложим эту силу на две составляющие:   и 

Сила   пересекает ось вращения и, следовательно, не влияет на вращение тела. Под действием составляющей   тело будет совершать вращательное движение вокруг оси  . Расстояние   от оси вращения до линии вдоль которой действует сила   называется плечом силы  . Моментом силы относительно точки О называется произведение модуля силы   на плечо 

С учетом, что  момент силы .С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное произведение радиуса-вектора  , проведенного в точку приложения силы   на эту силу. Таким образом, момент силы относительно точки О является векторной величиной и равен Вектор момента силы направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы   и  , и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора М видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от   к   происходит против часовой стрелки).Согласно второму закону Ньютона, для тангенциальной составляющейсилы  , действующей на материальную точку массой m, и ускорения  можем записать С учетом, что

 и  имеем Домножимлевую и правую части на  и получим

20. Вычисление момента инерции. Примеры. Теорема Штейнера.Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями (теорема Гюйгенса-Штейнера).Найдем зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей z и z', одна из которых проходит через центр масс С тела. Проведем остальные оси так, как это показано рисунке

   По определению осевых моментов инерции имеем ,

  ,  .Тогда  Так как   и согласно    получаем 

21. Момент импульса и его сохранение. Гироскопические явления.Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки О называется вектор L, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из точки О в место нахождения материальной точки, на вектор p ее импульса L=r*P, где r - радиус-вектор частицы относительно выбранного начала отсчета, p – импульс частицы. Момент импульса системы относительно неподвижной точки:Если тело вращается вокруг одной из главных осей инерции, то направление вектора момента импульса тела совпадает с направлением вектора его угловой скорости, а значение момента импульса может быть выражено через момент инерции Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента) — векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства.гироскопы — массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси сим метрии, являющейся свободной осью.Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О3О3, а не вокруг прямой О2О2, как это казалось бы естественным на первый взгляд (O1O1 и О2О2 лежат в плоскости чертежа, а О3О3 и силы F перпендикулярны ей).

22. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить: Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью  , то линейная скорость i-ой точки равна  , где  , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно. где   - момент инерции тела относительно оси вращения.В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости   центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью  вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду где   - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

23. Пружинный маятник. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний: смещение, амплитуда, фаза, циклическая частота, период, скорость, ускорение. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.Колебания — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.Классификации колебанийВыделение разных видов колебаний зависит от свойства, которое хотят подчеркнуть.Для подчёркивания разной физической природы колеблющихся систем выделяют, например, колебания:механические (звук, вибрация);электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые);комбинации вышеперечисленных;По характеру взаимодействия с окружающей средой:вынужденные – колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия;собственные или свободные – колебания при отсутствии внешних сил, когда система, после первоначального воздействия внешней силы, предоставляется самой себе (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие);автоколебания – колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии и она расходуется на совершение колебаний (пример такой системы - механические часы).Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями.Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени.Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени.Гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Гармонические колебания описываются уравнением типа: , где s – смещение колеблющейся точки от положения равновесия. А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебанияω₀ — круговая (циклическая) частота,φ — начальная фаза колебания в момент времени t=0, (ω₀t+φ) - фаза колебания в момент времени tФаза колебания есть значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус имеет значение в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А. Определенные состояния системы, которая совершает гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, имеющий название период колебания, за который фаза колебания получает приращение (изменение) 2π, т. е.   откуда   (2)Величина, братная периоду колебаний,   (3)т. е. число полных колебаний, которые совершаются в единицу времени, называется частотой колебаний. Сопоставляя (2) и (3), найдем   Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, во время которого за 1 с совершается один цикл процесса.  Найдем первую и вторую производные по времени от величины s, совершающей гармонические колебания:   (4)   (5) т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин в формулах (4) и (5) соответственно равны Аω₀ и Аω₀² . Фаза величины в формуле (4) отличается от фазы величины в формуле (1) на π/2, а фаза величины в выражении (5) отличается от фазы величины (1) на π. Значит, в моменты времени, когда s=0, ds/dt имеет наибольшие значения; когда же s становится равным максимальному отрицательному значению, то d²s/dt² равен наибольшему положительному значению.Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки. , или , где m – масса точки, k – коэффициент квазиупругой силы (k=mw²).Пружинный маятникКолебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).

где а_х – ускорение, m - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.Закон Гука, устанавливает линейную зависимость между упругой деформацией твердого тела и приложенным механическим напряжением. Напр., если стержень длиной l и поперечным сечением S растянут продольной силой F, то его удлинение = Fl/ ES, где E — модуль упругости (модуль Юнга).Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.Выражение для циклической частоты имеет вид: где w - циклическая частота, k - жесткость пружины, m - масса.Эта формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой m. Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.