1.Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в явлениях и опытах, результаты которых не могут быть заранее предсказаны.ТВ возникла в середине XVIIв.Ее возник-е было связано с азартными играми.К осн. Понятиям ТВ относят:1)Случ Соб;2)СлучВел-ны;3)СлучПроцессы.В связи с этим условно изуч-е ТВ м. поделить на 3 блока.Исходным понятием ТВ явл-ся пон-е СС и его вероя-ти.Испытание - выполнение опред. комплекса усл-й,в кот. набл-ся то или иное явл-е,фикс-ся тот или иной рез-т. В ТВ рассмат-ся испыт-я,рез-ты кот. нельзя заранее предсказать.СС-любой факт,кот. в рез-те испыт-я м.произойти или не-"-.Это не какое-л.происшествие,а лишь возм. Исход, рез-т испытания. Если при каждом испытании, при котором происходит событие A,происходит и событие B, то говорят, что A влечет за собой событие B (входит в В) или В включает событие А и обозначают B с A . Если одновременно B с A и A с B , то в этом случае события A и B называются равносильными. События A и B называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. События A и B называются совместными если они могут произойти вместе в одном и том же испытании.События А1,А2,…Аn называются попарно несовместными (или взаимоисключающими), если любые два из них несовместны. События образуют полную группу для данного испытания, если они попарно несовместны и в результате испытания обязательно появится одно из них.Противоположные с.-2 несовместн. события,одно из кот. обяз-но д. произойти. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти. Событие называется невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Обозначим достоверное событие Ω, а невозможное ∅.События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

2.Комбинаторика-раздел матем-ки,изуч-ий комбин-ии,кот. м. составить по опред. правилам из эл-тов,заданного,обычно конечн. множ-ва.Правило суммы: если объект А м. выбрать n-способами,то выбор А или В осущ-ся m+n способами. Правило умножения: если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор «А и В» в указанном порядке можно осуществить mn способами.

Перестановки–это комбинации, составленные из всех n элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р = n!

Размещения – комбинации из m элементов множества, содержащего n различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком.

A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

Сочетания – неупорядоченные наборы из m элементов множества, содержащего n различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов).

C =

3.Случ событие - Множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных событий. Пространство элементарных событий будем обозначать буквой Ω, а его исходы – буквой ω, т.е. ω ∈ Ω .Событие может быть определено как произвольное подмножество из пространства элементарных событий Ω, если Ω конечно или счетно. Суммой двух событий А и В (А+В или А∪B) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в А, либо в В.

Произведением двух событий А и В (обозначается АВ или А∩B) называется событие, состоящее из тех исходов, которые входят как в А, так и в В.

Разностью двух событий А и В обозначается А-В или А\В) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

4.Вероятность события-численная мера степени объективной возможности наступления события.Строгое мат. определение ВС было дано советск. акад-ком. Исторически ВС начали опред-ть через классич ф-лу:Р(А)=m\n. Пусть производится испытание с конечным числом равновозможных исходов ω1,ω2,…ωn,образующих полную группу событий.Элементарный исход ωi называется благоприятствующим появлению события А, если наступление исхода ωi влечет за собой наступление события А.На осн-ии этой ф-лы м.б. док-ны осн.св-ва вер-ти события:1)Вероятность достоверного события Ω=1.Док-во:P(Ω)=1,=>m=n,=>P(Ω)=n\n=1.

2) Вероятность невозможного события ∅=0.Докво: Р(∅)=0,=>m=0,=>P(∅)=0\n=0.

3)Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0≤Р(А)≤1.Док-во:0≤Р(А)≤1,=>∅≤А≤Ω,=>Р(∅)≤Р(А)≤Р(Ω).

Статистическая прим-ся для неравновозможных событий(на практике),т.к. в реальности классич.ф-ла неприменима.Относительной частоты (частости)W(A) события A как отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний:W(A)=M\N.При большом кол-ве испытаний W(A) колеблется около некоторого постоянного числа Р(А)*.Эту вел-ну и можно считать вер-ю.Стат.вер-ть – это W(A).Она прим-ся при усл-ях:1)события должны быть исходами только тех испытаний,которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий;2) События должны обладать, так называемой, стат. устойчивостью или устой-ю относ.частот. Недостаток - неоднозначность статистической вероятности.Геометрическая. Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В некоторых случаях можно воспользоваться понятием геометрической вероятности:P(A)=mes(A)\mes(B),mesuare-мера.Если пространство, то:P(A)=l(A)\L(Ω) Если плоскость,то:P(A)=S(A)\S(Ω)Если объем,то:P(A)=V(A)\V(Ω).

5.Теорема Слож-я Вер-стей:Вер-ть суммы 2-х событий = сумме вер-ей каждого соб-я – вер-ть их совместного наступления.

Р(А+В)=P(А)+P(В)–P(АВ).

Док-во:

Пусть ma-число элементарных исходов опыта,в рез-те кот происх-т соб-е А

mb- -//- //- В

mab - -//- //- А и В.

Р(А+В)=ma+b\n= (ma+mb-mab)\n=ma\n+mb\n-mab\n= P(А)+P(В)–P(АВ)..Следствия:1)Распр-ся для люб.числасоб-й.Р(А+В+С)=P(А)+P(В)+P(С)–P(АВ)–P(АС)–P(ВС)+P(АВС).2)Для несовместных соб-й mab=0,зн.Р(А+В)=P(А)+P(В).3) Сумма вер-ей противопол. событий=1: P(А)+P(неА)=1.Док-во:А+неА=Ω.

6.Т-ма Умножения Вер-стей:

Вер-ть произв-я 2-х соб-й=произвед-ю вер-ти 1-го на вер-ть 2-ого,при усл-ии,что 1-ое произошло.

P(АВ)=P(А)·P (В).

Док-во:РА(В)=mab\ma=mab\n*n\ma=P(AB)\P(A).

Следствие:Если вычесть вер-ть соб-я ВА,совпад-его с АВ,то P(ВА)=P(В)·PВ(А).Значит P(А)·PA(В)=P(В)·PB(А).

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть PA(В)=P(В).

Замечание:если событие В не зависит от А,то и А не зависит от В.=>св-во независимости взаимно.Для независимых: P(АВ)=P(А)·P(В).Для произвольного числа событий:Р(А1А2…Аn)= P(A1)*P (A2)*P (A3)…P (An).

Вероя-ть появл-я хотя бы 1 из попарно независимых событийA1A2…An= 1- Р(не А1)*Р(не А2)*…*Р(не An)=1–q1q2…qn, где q=P(не А)=1-Р(А)=1-p(р+q)=1

7.Формула полной вероятности. Ф-ла Байеса.

Следствием двух основных теорем теории вероятностей-теоремы сложения и умножения – являются формулы полной вероятности и формулы Байеса. На языке алгебры событий наборН1,Н2,…Нn называется полной группой событий, если:1) HiHj=∅;…∀i≠j;…i=1,2,…n;j=1,2,…n.2)H1+H2+…+Hn=Ω.

Ф-ла Полн Вер-сти: если событие А м. произойти только при усл-ии появления 1 из событий Нi,где i=1,2,…n,образ-щих полную группу,то вер-ть=:

Р(А)=Σ(от i=1 до н)Р(Нi)*Р (А).

Докво:

А=ΩА=А*(Н1+H2+…+Hn)=Н1*А+H2*А+…+Hn*А=>Р(А)=Р(Н1*А+H2*А+…+Hn*А)=Σ(от i=1 до n)Р(НiА).=> Р(А)=Р(Н1)*Р (А)+Р(Н2)*Р (А)+…+Р(Нn)*Р (А)=Σ(от n до i=1)Р(Нi)*РНi(А).ФБ:если событие А произошло,то апостериорные усл.вер-ти гипотез Н1…Нnвычисл-ся по ф-лам:РА(Нi)=(Р(Нi)*РНi(А))\Σ(от n до i=1)Р(Нi)*РНi(А).Док-во:А*Нi=Нi*А=>P(А*Нi)=P(Нi*А) =>РА(Нi)=(Р(Нi)*РНi(А))\P(A)=>P(A)=Σ(от i=1 до n )Р(Нi)*Р (А).

ФОРМУЛА БАЙЕСА:

Если событие А произошло, то апостериорные условные вероятности гипотез Hi, (i=не (1,n))вычисляются по формуле, которая носит название формулы Байеса:

Pa(Hi)=

8. Ф-ла Бернулли. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вер-ть Pn(m) того, что соб-е A наступит ровно m раз в n незав-ых исп-ях выч-ся по ф-ле,наз-ой ф-oй Бернулли:

Pn(m)=C *p^m*q^n-m.

Доказательство. Пусть Аi и неA i– соответственно появление и непоявление события A в i-м испытании ( i=1, 2, …n), а B – событие, состоящее в том, что в n независимых испытаниях событие А появилось m раз. Представим событие B через элементарные события Ai. Например, при n=3 и m=2 соб-2 B2=A1A2неА3+А1неА2А3+неА1А2А3.

В общем виде B =А1А2…А неА …неА + А1неА2А3… А неА …неА +…+неА1неА2…неА А …An, (1)

т.е. каждый вариант появления события (каждый член суммы (1)) состоит из m событий

A и n-m событий неA с различными индексами. Число всех комбинаций (слагаемых суммы (1)) равно числу способов выбора из n испытаний m, в которых событие A произошло, т.е. числу сочетаний C .

Вероятность каждой такой комбинации по теореме умножения для независимых событий равна p^m*q^n-m . В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, то по теореме сложения вероятностей получим

Pn(m)=P(Bm)= p^m*q^n-m+…+ p^m*q^n-m= C *p^m*q^n-m

9.Ф-ла Пуассона:если р наступления события А в каждом испыт-ии стремится к 0((р→0), р<0,1) при неогранич-м увел-ии числа n испытаний(n→∞,n≥100),причем произв-е np стрем-ся к пост числу λ (np→λ) (пост.число,λ≤10),то вер-ть Pn(m) того, что соб-е А появится m раз в n испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:

Pn(m)=(λ^me^-λ)/m!

Если в схеме Бернулли вероятность p появления события A близка к 1, а число испытаний n велико, для вычисления вероятности Pn(m)также можно использовать формулуПуассона.При этом находят вероятность того,что событие нeA произойдет n-m раз.

10. Локальная теорема Лапласа:

если в схеме Бернулли вероятность p появления события A в каждом из n испытаний существенно отличается от 0 и 1(0,1≤p≤0,9),то вер-ть Pn(m) того, что соб-е А произойдёт m раз в n независ испытаниях при достаточно большом числе n (n>100) приближённо равна:

Рn(m) , где фи(х)= - ф-ция Гаусса, х=

Интегральная теорема Лапласа:

если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что число m наступления события А в n испытаниях заключено между m1 и m2 включительно при достаточно большом числе n приближенно равна

Рn(m1≤m≤m2) ,

Где р-вероятность появления успеха в каждом испытании, q=1-p,

Ф(х)= - ф-ция Лапласа.

11.ДСВ

СВ- переменная величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений, причем заранее неизвестно, какое именно.СВ наз-ся ДСВ,если множ-во {х1,х2,…хn}ее возможных значений конечно или счетно (т.е. если все ее значения можно занумеровать).

З-н распр-я СВ - всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и веро-ями, с кот. она принимает эти значения. Обычно его записывают в виде таблицы (ряд распр-я):

хi	x1	x2	…	xn	…
pi	p1	p2	…	pn	…

Заметим, что события X=x1,X=x2,…X=хn образуют полную группу,след-но сумма вероятностей этих событий равна 1.

Графически изображ-ся в виде полигона(множ-ва точек на декартовой плос-ти с координатами)или многоуг-ка распред-я(ломаной,соед-щей на полигоне все соседние точки,кроме 1-ой и последней).

12. НСВ

СВ- переменная величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений, причем заранее неизвестно, какое именно.СВ называется НСВ, если ее фун-я распр-я непрерывна на всей числ. оси и дифференцируема кроме,м.б., конечного числа точек. Из этого определения следует P(x1≤X≤x2)= P(x1<X≤x2)= P(x1≤X< x2)= P(x1< X<x2).

13.Ф-ция распределения вероятностей

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что CB Х примет знач-е < х:

F(x)=P(X<x).

Cв-ва:1)0≤F(x)≤1.

2)F(x2)≥F(x1).

3)F(x)в точке x₀ непрерывна слева =F(x₀).

4)limF(x)(x→-∞)=0 и limF(x)(x→+∞)=1.

5)P(X=x₀)=F(x₀+0)-F(x₀-0)=F(x₀+0)-F(x₀).

6)P(a≤X<b)=F(b)-F(a).