- •Определение Множества. Элементы. Пустое, универсальное, подмножество. Равенства подмножеств. Множествами и их свойства. Декартово произведение множеств.
- •2. Операции над множествами. Диаграммы Венна.
- •Отношения. Унарные и бинарные, Тождественное и универсальное.
- •5. Отношения. Область определения, значений. Обратное отношение.
- •9. Специальные бинарные отношения:
- •Функция. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности. Частичная функция.
- •Эквивалентность множеств. Мощности множества. Сравнение мощностей. Типы множеств.
- •Матрицы бинарных отношений и их свойства.
- •11.Булевы алгебры.
- •12. Логические операции, их таблицы истинности.
- •23. Перестановки.
- •14. Эквивалентность формул.
- •36. Планарные графы.
- •27. Определение графа. Виды и способы задания графов.
- •28. Подграфы и части графа. Операции над графами. N-Мерные кубы.
- •Объединение: .
- •29. Маршруты, циклы, цепи. Достижимость и связность (матрицы достижимости, контрдостижимости, связности).
- •21. Теорема Жегалкина. Способы построения полиномов Жегалкина. Линейные функции.
- •41. Фундаментальные циклы, разрезы. Матрицы фундаментальных циклов, разрезов.
- •18.Минимизация днф: метод Квайна
- •13. Булевы функции, способы их задания. Представления булевых функций формулами.
- •15. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Алгоритм приведения формулы к днф и кнф.
- •16. Минимизация днф. Сокращенная, тупиковая, минимальная днф.
- •17. Минимизация днф Карты Карно.
- •19. Принцип двойственности. Самодвойственные функции.
- •26. Объекты теории графов. Цели и методы.
- •30. Эйлеровы графы, циклы, цепи. Алгоритм построения эйлерова цикла.
Определение Множества. Элементы. Пустое, универсальное, подмножество. Равенства подмножеств. Множествами и их свойства. Декартово произведение множеств.
Множество – это совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.
Элементы:a,b,c,a2,b3
Способы задания множеств:
Перечисление элементов: М={0,1,2,…,9}
Указание свойств Р(х), которым элементы множества должны удовлетворять: М={x | P(x)}.
Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы А принадлежат В, т.е.
Множества А и В называются равными или совпадающими, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е.
Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым ø.
Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом U.
Свойства основных операций над множествами:
Ассоциативность:
Коммутативность:
Идемпотентность:
Дистрибутивность:
Поглощение:
Законы де Моргана:
Законы нуля и единицы: 0=ø, 1=U
Закон двойного отрицания:
3.Упорядоченную последовательность (х1, х2,…,хn) называют кортежем длины n.
Декартовым(прямым) произведением множеств А1, А2,…, Аn называется множество {(x1, x2,…, xn) | x1 є A1,…, xn є An}.
Если А1=А2=…=Аn, то – n-ная декартова степень множества А.
А0 = ø
2. Операции над множествами. Диаграммы Венна.
1) объединение
2 ) пересечение
3) вычитание
4) кольцевая сумма (симметрическая разность)
5) дополнение
Отношения. Унарные и бинарные, Тождественное и универсальное.
n-местным отношением(или n-местным предикатом)Р на множествах А1, А2,…, Аn называется любое подмножество прямого произведения . Элементы х1, х2,…, хn (где хi є Ai) связаны соотношением Р тогда и только тогда, когда (х1, х2,…, хn) є Р. При n=1 отношение Р является подмножеством множества А1 и называется унарным отношением или свойством.
При n=2 отношение Р называется бинарным отношением или соответствием.
U = A2 – универсальное отношение.
5. Отношения. Область определения, значений. Обратное отношение.
Пусть Р – некоторое бинарное отношение. Областью определения отношения Р называется множество δР = {x | (x,y) є P для некоторого у}. Областью значений отношения Р называют множество ρР = {y | (x,y)єP для некторого х}. Обратным отношением называется множество Р-1 = {(y,x) | (x,y) є P}.
Образом множества Х относительно предиката Р называется множество Р(Х)={y | (x,y) є P для некоторого х є Х}
Прообразом множества относительно предиката Р называется множество Р-1(Х) или, другими словами, образ множества Х относительно предиката Р-1.
Произведением бинарных отношений и или композицией Р1 и Р2 называется множество Р1•Р2 = {(x,y) | x є A, y є C, и найдется элемент z є B такой, что (x,z) є Р1 и (z,y) є P2}.
Свойства:
Ассоциативность композиции: (P•Q)•R=P•(Q•R)
Доказательство: Пусть (x,y) є (P•Q)•R. Тогда для некоторых u и v имеем (x,u) є P, (u,v) є Q, (v,y) є R. Тогда (u,y) є Q•R и (x,y) є P•(Q•R). Включение P•(Q•R) є (P•Q)•R доказывается аналогично.
(P•Q)-1=Q-1•P-1
Доказательство: Предположим, что (x,y) є (P•Q)-1. Тогда (y,x) є P•Q, и, следовательно, (y,z) є P и (z,x) є Q для некоторого элемента z. Значит (x,z) є Q-1, (z,y) є P-1 и тогда (x,y) є Q-1•P-1. Обратное включение доказывается аналогично.
P•Q ≠ Q•P
(P-1)-1=P
Доказательство: Если (x,y) є P, то (y,x) є Р-1, но тогда (x,y) є (Р-1)-1.