Билеты по мат. анализу ч3

1

Пусть   — числовой ряд. Число   называется n-ой частичной суммой ряда  .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм S_n, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число  , то в этом случае пишут  . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

Сумма числового ряда   определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится^[1]. Элементы ряда a_n представляют собой либовещественные, либо комплексные числа.

Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

   (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

  (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно  .

2

В качестве последнего примера рассмотрим геометрическую прогрессию

a + aq + aq² + aq³ + ...   (a ≠ 0).     (10)

     Если q = 1, то частичная сумма прогрессии имеет вид S_n = an и прогрессия расходится аналогично ряду (5). Если же q ≠ 1, то по известной формуле алгебры

     Если |q| < 1, то при возрастающем n величина qⁿ стремится к нулю и

Если q<0 – ряд сходится

q>0 – ряд расходится

q=0 – и сходится и расходится

3

Необходимый признак сходимости числового ряда.

  Теорема: Пусть числовой ряд

u1+u2+...+un+... ,

(1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю  Доказательство. Из условия теоремы имеем

       

Так как

S_n - S_n-1 = u_n

то

  Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

,

а он, однако не является сходящимся.   Так гармонический ряд

,

для которого

,

расходится.   Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

то ряд (1) расходится.   В самом деле, если бы он сходился, то

равнялся бы нулю.   Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S_n, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

,

расходится, так как

4

. Простейшие свойства числовых рядов

Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и ряд (1). Обратно, если сходится данный ряд (1), то сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких членов. Другими словами: на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Доказательство. Пусть Sn – n-я частичная сумма ряда (1), Ck – сумма к отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом n все отброшенные члены содержатся в сумме Sn),n-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Таким образом: , где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего равенства следует, что если существует   то существует и   и обратно, если существует  , то существует и   Это и доказывает справедливость теоремы.   Теорема 2. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд ,           (2) где с – число, также сходится и его сумма равна c.S. Доказательство. Пусть Sn и n – n-е частичные суммы соответственно рядов (1) и (2). Тогда . Предел n существует, так как = =c. =c.S, что и требовалось доказать.   Теорема 3. Если ряды и    (3) сходятся и их суммы равны соответственно   и S, то ряды                 (4) и (u1-v1)+ (u2-v2)+…+ (un-vn)+…                (5) также сходятся и их суммы равны соответственно  +S и   -S. Доказательство. Докажем сходимость ряда (4). Обозначим n,  и Sn – n-е частичные суммы рядов (4), (1) и (2) соответственно. Получим n=(u1+v1)+(u2+v2)+…+(un+vn)=(u1+u2+…+un)+  +(v1+v2+…+vn)=  + Sn. Переходя в этом равенстве к пределу при n, получим = ( + Sn)=  +  Sn= + S. Таким образом, ряд (4) сходится и его сумма равна  + S. Аналогично доказывается, что ряд (5) сходится и его сумма равна  -S. Сделайте это самостоятельно.

5

6

6

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

[править]Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 — расходится .

Замечание. Если ρ = 1, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство  , то данный ряд сходится.