- •Линейные операции над векторами Сложение векторов
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Координаты вектора
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Уравнение прямой линии, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению
- •Расстояние от точки до плоскости
Свойства линейных операций над векторами
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Для любых векторов и любых действительных чисел справедливы равенства:
Свойства 1, 2 выражают коммутативность и ассоциативность операции сложения векторов, свойство 5 — ассоциативность операции умножения на число, свойства 6,7 — законы дистрибутивности, свойство 8 называется унитарностью.
№4
Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).
Проекция вектора на ось обозначается через al или , а угол между осью и вектором будем обозначать так: . Таким образом,
(2)
Свойства проекций вектора на ось
№5
Суммой векторов
и
называется вектор
,
т.е. при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются.
Произведением вектора
на действительное число называется вектор
т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.
№6
Координаты вектора
Пусть вектор имеет началом точку А( ха, уа) и концом точку В( хb, yb). Координатами вектора будем называть числа АВх = хb - ха, АВу = уb - уа, АВz = zb - zа.
№7
Если x1 и y1 - координаты точки A, а x2 и y2 - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам
Если , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам
№8
Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов и :
где - угол между векторами и ; если либо , то
Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .
Скалярный квадрат вектора:
Свойства скалярного произведения:
Скалярное произведение в координатах
Если то
Угол между векторами
№9
Векторное произведение векторов и его свойства
В ведем сначала понятие ориентации тройки векторов.
Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .
Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.
Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:
Д лина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.
Он направлен так, что векторы и образуют правую тройку векторов.
Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:
.
Таким образом, и .
При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак .
Д ействительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .
Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов
.
Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае . Тогда по определению векторного произведения
Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также векторам и , т.к. векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Т. к. , и следовательно, , то .
Поэтому .
Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.
Для любых векторов имеет место равенство
.
Примем без доказательства.
Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.
Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.
Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.
В частности .
№10
Смешанным произведением трёх векторов называют число, равное . Обозначается . Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный вектор умножается скалярно на третий вектор . Очевидно, такое произведение есть некоторое число.
Рассмотрим свойства смешанного произведения.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. .
Таким образом, и .
Д оказательство. Отложим векторы от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим и заметим, что . По определению скалярного произведения
. Предполагая, что и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим .
Таким образом, при
Если же , то и . Следовательно, .
Объединяя оба эти случая, получаем или .
Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение , а если – левая, то .
Для любых векторов , , справедливо равенство
.
Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко показать, что и . Причём знаки "+" и "–" берутся одновременно, т.к. углы между векторами и и и одновременно острые или тупые.
При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.
Действительно, если рассмотрим смешанное произведение , то, например, или
.
Смешанное произведение тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы – компланарны.
Доказательство.
Предположим, что , т.е. , тогда или или .
Если , то или или . Поэтому – компланарны.
Если , то , , - компланарны.
Пусть векторы – компланарны и α – плоскость, которой они параллельны , т. е. и . Тогда , а значит , поэтому или .
Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того, отсюда следует, что три вектора образуют базис в пространстве, если .
Если векторы заданы в координатной форме , то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:
.
Т. о., смешанное произведение равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.
Все по векторам: http://examen.nx0.ru
http://tvsh2004.narod.ru/vekt.html
№11
Условие коллинеарности двух векторов.
Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если , то .
Доказательство:
Пусть вектор коллинеарен , тогда найдется λ такое, что . Значит, и . Поскольку разложение вектора по элементам базиса единственно, то .
Пусть выполняется равенство . Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда и, следовательно, , т.е. . Теорема доказана.
Компланарность трех векторов.
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.
Условие ортогональности векторов:
*-// Для двух векторов
№12
Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.
Входящие в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные - параметрами.
Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки на плоскости.
Выведем уравнение окружности.
Пусть C(a, b) – центр окружности, а R – ее радиус. Возьмем произвольную точку M(x, y) ∈ окр.
Расстояние от центра окружности до точки M находится по известной формуле
Каноническое уравнение окружности. В центре с координатами a и b и радиусом R
Если в этом уравнении раскрыть скобки и выполнить некоторые преобразования, то получим: