№1

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, ДЕТЕРМИНАНТ [determinant] — число, соответствующее квадратной матрице и полученное путем ее преобразования по определенному правилу. Обычное обозначение (для матрицы A): det A. Напр., определитель (второго порядка) матрицы

обозначается

и вычисляется следующим образом:

|A| = a₁₁a₂₂ — a₁₂a₂₁.

Свойства определителей

• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

• Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей.

№2

№1-№2 http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/opredelitel-matricy.html

http://www.mathprofi.ru/pravilo_kramera_matrichnyi_metod.html

№3

Линейные операции над векторами Сложение векторов

Пусть даны два вектора   и  . Приложим вектор   к точке   (концу вектора  ) и получим вектор   (рис.1.7,а; здесь и далее равные векторы отмечены одинаковыми засечками). Вектор   называется суммой векторов   и    и обозначается  . Это нахождение суммы называется правилом треугольника.

Сумму двух неколлинеарных векторов   и   можно найти по правилу параллелограмма. Для этого откладываем от любой точки   векторы   и  , а затем строим параллелограмм   (рис. 1.7,6). Диагональ   параллелограмма определяет сумму:  .

Для нахождения суммы нескольких векторов можно построить ломаную из равных им векторов. Тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора ломаной с концом последнего ее вектора, равен сумме всех векторов ломаной. На рис.1.7,в изображена сумма   четырех векторов  . Таким способом (правило ломаной) можно сложить любое конечное число векторов. Заметим, что сумма векторов не зависит от точек приложения слагаемых и от порядка суммирования. Например, "выстраивая цепочку" векторов для суммы в виде  , получим вектор, равный вектору  . Если ломаная получилась замкнутой, то сумма равна нулевому вектору.

Вычитание векторов

Вектор   называется противоположным вектору  , если их сумма равна нулевому вектору:  . Противоположный вектор   имеет длину  , коллинеарен и противоположно направлен вектору   (рис.1.8,а,б). Нулевой вектор является противоположным самому себе.

Разностью векторов   и   называется сумма вектора   с вектором  , противоположным вектору  :

Для нахождения разности векторов   и   приложим к произвольной точке   векторы  , а также вектор  , противоположный вектору   (рис.1.9,а). Искомую разность находим по правилу параллелограмма:

Для нахождения разности проще использовать правило треугольника (рис. 1.9,6). Для этого прикладываем к произвольной точке   векторы  . Вектор   при этом равен искомой разности  .

Вычитание векторов — действие, обратное сложению — можно определить также следующим образом: разностью векторов   и   называется такой вектор  , который в сумме с вектором   дает вектор   (рис.1.9,в), т.е. разность   — это решение уравнения  .

Пример 1.2. Для векторов на рис. 1.6 найти следующие суммы и разности:

Решение. Учитывая равенство  , получаем по правилу треугольника  .

Поскольку   и  , то  .

По правилу параллелограмма  .

Так как   и  , находим 

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора а на действительное число   называется вектор  , удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора   равна  , т.е.  ;

2) векторы   и   коллинеарные  ;

3) векторы   и   одинаково направлены, если  , и противоположно направлены, если  .

Произведение нулевого вектора на любое число   считается (по определению) нулевым вектором:  ; произведение любого вектора на число нуль также считается нулевым вектором:  . Из определения произведения следует, что:

а) при умножении на единицу   вектор не изменяется:  ;

б) при умножении вектора на   получается противоположный вектор:  ;

в) деление вектора на отличное от нуля число   сводится к его умножению на число  , обратное  .

г) при делении ненулевого вектора   на его длину, т.е. при умножении   на число   получаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором  .

Действительно, длина вектора   равна единице:  .

Вектор   коллинеарен и одинаково направлен с вектором  , так как  ;

д) при умножении единичного вектора на число   получаем коллинеарный ему вектор, длина которого равна  .

На рис.1.10 изображены векторы, получающиеся в результате умножения данного вектора   на   и  , а также противоположный вектор  .