I. Устойчивые системы автоматического регулирования § Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

z⁽ⁿ⁾ + a₁z^(n-1) + …+ a_n-1z^' + a_nz = 0 ( * )

уравнение ( * ) - однородное линейное дифференциальное уравнение

a_i – постоянные числа (вещественные, комплексные)

Символическое (операционное) обозначение:

; (О.Хэвисайд)

Определение:

Пусть L(p) = а₀∙рⁿ + a₁р^n-1 + …+ a_n-1р + a_n

Произвольный многочлен относительно р с постоянными константами а_i , z-некая функция независимой переменной t'.

L(p)z- многочлен относительно z (не умножить на z)

L(p)z = z⁽ⁿ⁾ + a₁z^(n-1) + …+ a_n-1z^' + a_nz

Если L(p) и H(p) – произвольные многочлены, то

Свойства А:

• L(p)∙(z₁+z₂) = L(p)∙z₁+ L(p)∙z₂

• (L(p) + H(p))∙z = L(p)∙z+ H(p)∙z

- L(p)(H(p)z) = L(p)∙Н(p)z  L(с,z) = с∙L(z) , с = const

L(p)z = 0

L(p) = а₀∙рⁿ + a₁р^n-1 + …+ a_n-1р + a_n

Алгебраический многочлен (n-показатель степени)

Свойства В:

Пусть L(p) - произвольный многочлен относительно символа р

L(p)∙е^t = L()∙е^t (t - время, независимая переменная)

е^t – тогда и только тогда является решением уравнения L(p)z, когда число  есть корень многочлена L(p).

L(p)-характеристический многочлен

Предполагаем, что характеристическое уравнение не имеет кратных корней.

§ Устойчивость многочленов.

Пусть L(p)z = 0

Линейный дифференциальный оператор (однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами)

Многочлен называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Геометрически: все корни должны лежать слева от мнимой оси в плоскости корней характеристического уравнения

Плоскость корней

Пусть _j = _j + i_j – корни многочлена L(p) = 0

j = 1,2…m

i = -мнимая единица

Найдется такое положительное число  > 0

_j < - ; j = 1, 2…m

Если это справедливо, то найдется такое положительное число H > 0

, t0

решение0

Если хотя бы один из корней уравнения L(p) = 0 имеет положительную вещественную часть, то е^t  , то система неустойчивая (t  ).

Задача: найти условие, при котором система устойчива

 L(p) = p² + a∙p+b – 2- ой степени

многочлен устойчив при a > 0

b > 0

многочлен должен быть положительными

 Если многочлен L(p) = а₀∙р⁽ⁿ⁾ + a₁р^(n-1) + …+ a_n-1р + a_n с действительными коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты положительные.(Теорема А.Стодола)

(Обратная формулировка не всегда верная)

Пример: z³ + z² + 4z + 30 = 0; корни -3, 1 ± 3i

 L(p) = а₀∙р⁽ⁿ⁾ + a₁р^(n-1)+ a₂р + a₃ , в которым а₀ >0 с действительного коэффициентами устойчив, когда а₀ , а₁ , а₂ , а₃ >0

а₁∙ а₂> а₀∙ а₃