Вопрос 1
Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
Функция f (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому[3] элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.[4]
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:
f(g(y)) = y для всех
g(f(x)) = x для всех
Вопрос 2
Основные элементарные функции.
К ним относят:
Степенные с целым показателем.
Показательные , где , и .
Логарифмические , где , и .
Тригонометрические
Обратные тригонометрические (аркфункции)
Вопрос 3
Последовательностью называется функция f(n)=xn, для которой , каждому натуральному числу, ставится в соответствие какое то действительное число.
n - натуральное
xn – действительное
xn – энный член последовательности
Часто последовательности задаются при помощи формул и рекуррентно (нет явной формулы для членов последовательности, а члены последовательности с одними номерами выражаются через членов последовательности с другими номерами).
Предел последовательности
Пределом xn называется число a, если при Ԑ>0, существует N
n>N→ |xn-a|< Ԑ
xn =a+ Ԑ
Вопрос 4
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел
Число е:
xn=(1+1/n)n
Вопрос 5
Говорят что предел функции в точке a, если для любого Ԑ, существует δ,из которого |x-a|<δ=>|f(x)- δ|< Ԑ
Для как угодно малого Ԑ найдётся окрестность точки а, в которой значение функции отличается от числа b не больше чем на Ԑ.
Подчеркнём, что в определении предела функции, точка а может не принадлежать области определения функции. Но функция определена в какой-то окрестности точки а.
– не определено
Вопрос 6
Функция α (x) называется бесконечно малой при , если
Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при .
Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);
Если , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;
Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка n относительно функции β (x);
Если , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при .
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.
4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х0 | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.
В этом случае пишут
и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х0 , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х0.
Если f (x) — бесконечно большая функция, то есть бесконечно малая функция в этой же точке.