21 Типовые динамические звенья
Усилительное звено
Усилительное звено называют также статическим (безынерционным). Примером его может служить клапан с линеаризованной характеристикой в системах регулирования, различные усилители, рычажные передачи, редукторы и т.д. Это звено мгновенно и без искажений воспроизводит входную величину на выходе.
Уравнение движения усилительного звена имеет вид
y(t) = kx(t), (3.1)
где k — коэффициент усиления.
Передаточная функция усилительного звена получается в результате преобразования по Лапласу его уравнения y(s) = kx(s), откуда
(3.2)
Подстановка s = (iω) дает выражение АФХ
W(iω) = k, (3.3)
откуда
АЧХ: M(ω) = k; (3.4)
ФЧХ: φ(ω) = 0. (3.5)
Графики частотных характеристик (АЧХ, АФХ) представлены на рис. 3.1.
Частотные характеристики усилительного звена не зависят от частоты, причем ФЧХ тождественно равна нулю, т.е. при подаче на вход гармонических колебаниях, на выходе звена изменяется только амплитуда в k раз. Амплитудно-фазовая характеристика является положительным действительным числом, ее график представляет собой точку на положительной ветви действительной оси.
Временные характеристики можно получить непосредственно из уравнения (3.1). Если входной сигнал x(t) = 1(t), то получают уравнение переходной функции
h(t)=k1(t), (3.6)
она равна постоянной величине - коэффициенту усиления звена. Если же x(t) = δ(t), то получают уравнение весовой функции
w(t) = kδ(t). (3.7)
Рис. 3.1 Частотные характеристики усилительного звена:
а) АЧХ; б) АФХ
Графики временных характеристик изображены на рис. 3.2.
Интегрирующее звено
Уравнение движения интегрирующего звена имеет вид
или Тиy'(t)
= x(t);
y(0)
= 0, (3.8)
где Ти - постоянная времени звена.
Выходной сигнал
интегрирующего звена равен интегралу
по времени от входного сигнала, умноженному
на коэффициент
Примером интегрирующего звена являются счетчики, суммирующие расход вещества или энергии за определенный промежуток времени, уровень в емкости и т.п.
Передаточная функция интегрирующего звена получается в результате преобразования по Лапласу (3.8):
(3.9)
Рис. 3.3 Частотные характеристики интегрирующего звена:
а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ
22 Идеальное дифференцирующее звено
Уравнение идеального дифференцирующего звена
y(t) = kx′(t), (3.15)
т.е. изменение
выходной координаты пропорционально
скорости изменения входной координаты.
В операторной форме уравнение имеет
вид
откуда
передаточная функция
(3.16)
Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 3.5:
АФХ W(iω) = kωi = keiπ/2; (3.17)
АЧХ M(ω) = kω; (3.18)
ФЧХ φ(ω) = π/2. (3.19)
Рис. 3.5 Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена:
а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ
Таким образом, АЧХ прямо пропорциональна частоте, а ФЧХ не зависит от частоты и равна π/2. Следовательно, годограф АФХ при φ > 0 совпадает с положительной ветвью мнимой оси. Переходная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:
h(t) = k1'(t) = kδ(t), (3.20)
т.е. представляет собой δ-функцию с площадью, равной k.
Весовая функция представляет собой производную от δ-функции
w(t) = kδ'(t). (3.21)
В природе идеально дифференцирующих звеньев не существует, так как при ω→ ∞ M(ω) → ∞, а любой реальный объект практически фильтрует гармонические сигналы с частотой, большей частоты среза данного объекта. Неосуществимость идеального звена видна также и из переходной функции, которая равна δ-функции и из весовой функции, равной производной δ-функции.
Реальное дифференцирующее звено
Встречаются звенья, которые реагируют только на скорость изменения входного сигнала. Они описываются уравнениями следующего вида и называются реальными дифференцирующими:
Ty(t) + y(t) = Tдx(t). (3.22)
Примером такого звена является RC-цепочка (рис. 3.6).
Рис. 3.6 RC-цепочка
Передаточная функция имеет вид:
(3.22)
Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 3.7.
Рис. 3.7 Частотные характеристики реального дифференцирующего звена:
а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ
АФХ 
(3.23)
АЧХ 
(3.24)
ФЧХ 
(3.25)