Средние величины

Факторы надежности средних величин, делающие их действительно техническими характеристиками:

- чем больше единиц совокупности, по которым рассчитывается среднее, тем оно устойчивее и тем больше обеспечивается взаимопогашение случайных индивидуальных особенностей;

- чем более однородны единицы совокупности, тем надежнее, устойчивее среднее, тем более оно типично.

Чтобы понять сущность средней величины ее нужно рассматривать во взаимосвязи в сравнении с другими средними величинами. Например, средний возраст, среднее образование и средний стаж работы – все эти характеристики взаимосвязаны.

Среднюю величину часто называют показателем центральной тенденции.

Виды и форма средних

Средние бывают двух видов:

- простые

- взвешенные

Пример: Заработная плата за январь у рабочих одного цеха составляет 6500 руб., 4955 руб., 5323 руб.

f_i – весовые коэффициенты (веса).

Пример: По каждому из трех рабочих известно следующее:

Рабочий	Число деталей/раб.час.	Число часов/мес.
1 2 3	15 11 14	140 105 120

Тогда среднее число деталей в час:

Неверно:

Степенные средние

К ним относятся все средние, используемые в статистических расчетах. Формула степенной средней:

Вид средней зависит от показателя средней k:

k = 1: - средняя арифметическая

k = 2: - средняя квадратическая

k = 3: - средняя кубическая

k = 0: - средняя геометрическая (k=0)

k = -1: - средняя гармоническая

Свойство мажорантности средней:

x_i = 1,2,3

Свойства средней арифметической.

1).

2). - сумма квадратов отклонений от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений от произвольного числа А.

3).

4). - если каждую варианту умножить или разделить на число А, то среднее увеличится в А раз.

5).

6).

Пример: Рассчитать выработку одного рабочего по следующим данным:

Рабочий	Произведено за неделю	Часовая выработка
1	200	10
2	240	12
3	390	13

Средняя величина является реальной величиной поскольку она рассчитывается на основе фактически существующих данных, но вместе с тем она является абстрактной величиной поскольку получена в результате расчетов.

Изучение вариации.

Вариация – различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени.

Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих основных этапов:

1. Построение вариационного ряда.

2. Графическое изображение вариационного ряда.

3. Расчет показателей центра распределения и структурных характеристик вариационного ряда.

4. Расчет показателя размера и интенсивности вариации.

5. Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс.

Построение вариационного ряда это упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным его значением.

Варианты – это значения, которые принимает исследуемый признак.

Частоты – это абсолютная численность отдельных групп с различными значениями признака.

Частости – это удельные веса (доли) отдельных групп, в общей численности совокупности.

; ;

Пример: Имеются данные о заработной плате для сотрудников фирмы. Упорядочив их по возрастанию получим вариационный ряд.

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Фамилия	О	К	С	А	Е	Р	В	Ж	Г	Б	З	Л	М	Т
Зар. Плата (xi)	105	108	115	115	115	119	121	125	127	128	128	129	131	132

15	16	17	18	19	20
Ю	Я	Н	Э	М	Д
134	135	140	140	143	145

xi	105	108	115	119	121	125	127	128	129	131	132	135	140	143	145
ni	1	1	3	1	1	1	1	2	1	1	1	1	2	1	1

Объединив одинаковые значения X_i , получили таблицу, называемую рядом частот.

В вариационном ряду x_i получены по сильной шкале. Можно перейти в порядковую шкалу, сопоставив каждому значению ранг. Ранг равен порядковому номеру i значения x_i в упорядоченной выборке, если частота n_i.данного значения равна 1. Если же частота значения >1, то ранг значения x_i равен среднему арифметическому порядковых номеров этого значения в упорядоченной выборке.

xi	i	ранг
105 108 115 119 121 125 127 128 129 131 132 134 135 140 143 145	1 2 3,4,5 6 7 8 9 10,11 12 13 14 15 16 17,18 19 20	1 2 4 6 7 8 9 10,5 12 13 14 15 16 17,5 19 20

Ряд сгруппированных частот.

Такой ряд строят в случае непрерывного признака или для дискретного признака при объеме совокупности n>50.

Весь отрезок [x_min, x_max] разбивается на интервалы число которых определяется по формуле Стерджесса: k=1+3,32lg(n)=1+1,44ln(n).

Длина интервала: .

Середины интервалов:

y ₁=x_min

y₂=x_min+d

y₃=y₂+d

…

y_k=x_max

Находим частоту каждого интервала n_i: т.е. число значений признака, попавших в данный интервал. Причем, если значение x_i с четной частотой f_i попадает на границу интервала, то половину значений f_i/2 относят к левому интервалу, а другую к правому. Если f_i нечетное, то к левому относят (f_i+1)/2.

Построим ряд сгруппированных частот для нашего примера:

x_min=105; x_max=145; n=20;

k=1+3,32lg(20)=5,3 (k=5)

d=(145-105)/(5-1)=10

Интервал	Середина интервала	Частота ni	Частость mi=ni/n
100-110 110-120 120-130 130-140 140-150	105 115 125 135 145	2 4 6 5 3	0,1 0,2 0,3 0,25 0,15

Гистограмма частот:

Полигон частот:

Кумулята, огива:

Характеристики вариационного ряда.

1. Показатели центра распределения.

- Среднее значение признака

- Мода (M_o)

M_o – значение признака наиболее часто встречающегося в изучаемой совокупности. В дискретном вариационном ряду модой являются варианты с наибольшей частотой или частностью.

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

(*)

Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту.

Расчет модального значения для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по формуле аналогичной (*), только вместо показателей частот или частостей используются показатели абсолютной или относительной плотности распределения, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения находятся как отношения частот (частостей) к величине интервала.

- абсолютная плотность распределения

- относительная плотность распределения

- Медиана (Me, Md)

Варианта расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда, делящая его на две равные части, т.о. что половина единиц совокупности имеет значение признака меньше, чем медиана, а половина – больше, чем медиана.

xi	5	3	2	1	7
	1	2	3	5	7

Me

Если n=2k+1, Me=X_k+1 ; Если n=2k, Me=(X_k+X_k+1)/2

Функция плотности вероятности для нормального закона распределения:

График такой функции называется кривой Гаусса.

Правило «трех сигм»:

Площадь под кривой Гаусса в диапазоне

составляет 68.3%

составляет 95.4%

составляет 99.7%

Начальным моментом k-го порядка называется величина:

Центральным моментом k-го порядка называется величина:

Основным моментом k-го порядка называется величина:

- Асимметрия

µ₁=M(X-M(x))

Степень существенности асимметрии и эксцесса можно оценить с помощью соответствующих среднеквадратических ошибок коэффициента асимметрии и эксцесса.

-Эксцесс

; ;

Если - то A_s существенно.

Если - то E_x существенно.

Для симметричного распределения .

Правосторонняя асимметрия:

Квантили распределения.

Квантиль - это значение, делящее вариационный ряд (ряд сгруппированных частот) на две части с определенными пропорциями в каждой из них.

К квантилям относятся:

- квартили (Q₁, Q₂, Q₃) они делят упорядоченную выборку на 4 равные части.

- децили (D₁, D₂, …, D₉) они делят упорядоченную выборку на 10 равных частей.

- процентили (P₁, P₂, …, P₉₉) они делят упорядоченную выборку на 100 равных частей.

Пример: 64 студента выполняли тест из 15 вопросов. Оценка равняется количеству правильных ответов. Определим 30 процентиль, т.е. такое значение меньше которого получили оценку 30% испытуемых.

Интервал	Оценка	Частота ni	Накопленная частота
4,5-5,5 5,5-6,5 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5 9,5-10,5 10,5-11,5 11,5-12,5	5 6 7 8 9 10 11 12	4 7 13 15 7 9 6 3	4 11 24 39 46 55 61 64

Формула для нахождения j-ой процентили:

, ;

d – длина интервала.

x_н – левая граница интервала, содержащего накопленную частоту k.

n* - частота этого интервала.

∑n_i – накопленная к x_н частота.

k=(30*65)/100=19,2

В силу того, что 11 человек имеют оценку 6 или меньше, а 24 – 7 или меньше. То частота k=19,2 лежит в интервале [6,5; 7,5] => x_н=6,5; n*=13; ∑n_i=11, d=1.

P₃₀=6,5 +1(19,2-11)/13=7,13

Следовательно, 30% всех оценок за тест лежит ниже 7,13. Me=P₅₀=D₅

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации:

1). Размах R=X_max-X_min (Range)

2).

3). Среднее квадратическое отклонение и дисперсия

Дисперсия:

4). Квартильное отклонение применяется иногда вместо размаха вариации

Относительные показатели:

1). Коэффициент осцилляции

2). Относительное линейное отклонение

3). Коэффициент вариации (наиболее часто применяемый)

4). Коэффициент децильной дифференциации

Правило сложения дисперсий.

Для сгруппированной статистической совокупности возможно вычисление 3-х видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия характеризует изменение признака во всей изучаемой совокупности и рассчитывается по формуле:

,

i – индекс суммирования по группам.

j – индекс суммирования по элементам в группе.

Для оценки изменения признака внутри каждой i-ой группы, вычисляют внутригрупповые дисперсии:

Обобщенную характеристику внутригруппового изменения внутригрупповых средних вычисляют:

Межгрупповая дисперсия показывает вариацию групповых средних вокруг средней величины признака в совокупности:

Шкалы измерения.

Выделяют 4-е шкалы, каждая из них связана с определенным свойством чисел. Каждая последующая шкала кроме свойств чисел, присущих предыдущим шкалам, имеет свои собственные.

1). Номинальная (шкала наименований). Частный случай – дихотомическая.

Свойство чисел: равенство и различие.

2). Порядковая (ранговая или ординальная).

Свойство чисел: упорядоченность.

3). Интервальная шкала.

Позволяет определить, на сколько единиц одно значение признака отличается от другого.

4). Шкала отношений.

Позволяет определить, во сколько раз одно значение отличается от другого. Значение 0 свидетельствует об отсутствии признака у объекта.

Первые два типа шкал называют слабыми или неметрическими. Последние – сильные или метрические.

Значения, полученные по сильной шкале, всегда можно преобразовать в одну из слабых шкал.

Статистический анализ связей.

Статистическая связь – это связь, проявляющаяся не в каждом отдельном случае, а в массе случаев, в средних величинах в форме тенденции.

Частный случай статистической связи - это корреляционная связь, при которой некоторому изменению одного признака (количеств.) соответствует определенное изменение средней величины другого признака.

Связь двух признаков (y,x) – называют парной корреляцией. x – факторный признак. y – результативный признак или отклик. Влияние нескольких факторов на результативный признак называется множественной корреляцией.

По направлению связи бывают прямые и обратные. Если при увеличении значений X, значения Y в среднем увеличиваются, то связь называется прямой.

Если при увеличении X, значения отклика Y в среднем уменьшаются, то такая связь называется обратной.

Пример: Зависимость качества работы (Y) от скорости ее выполнения (X).

xi	x1	x2	…	xn
yi	y1	y2	…	yn

Регрессионный анализ исследует форму зависимости между X и Y что выражается в подборе соответствующей функции y=f(x).