- •2.Понятие определителя n-ого порядка. Схемы вычисления определителей 2-ого и 3-ого порядков
- •3.Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя.
- •4.Свойства определителей. Вычисление определителей порядка выше 3-его при помощи свойств определителя и теоремы о разложении определителя.
- •5.Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •6.Ранг матрицы. Преобразования матрицы, не меняющие ее ранга.
- •7.Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные понятия. Матричный вид системы линейных уравнений.
- •8.Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Метод обратной матрицы.
- •9.Системы линейных уравнений с n неизвестными.Формулы Крамера.
- •10.Метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.
- •12.Системы линейных однородных уравнений. Существование ненулевого решения.
- •15.Скалярное произведение векторов и его свойства.Условие перпендикулярности векторов.Угол между векторами.
- •16.Векторное произведение и его свойства.
- •17.Смешанное произведение и его свойства.Условие компланарности векторов.
- •18.Общее уравнение прямой на плоскости. Случаи расположения прямой относительно осей координат.Уравнение прямой в отрезках.
- •19.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •20.Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (на плоскости).
- •21.Угол между двумя прямыми (на плоскости). Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •22.Расстояние от точки до прямой.
- •23.Эллипс
- •24.Гипербола.
- •25.Парабола.
- •26.Поворот и параллельный перенос осей координат (на плоскости).
- •28.Случаи расположения плоскости относительно осей координат.Уравнение плоскости в отрезках.
- •29.Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между плоскостями.
- •30.Уравнение прямой в пространстве,как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве.
- •31.Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки. Параметрические уравнения прямой в пространстве.
- •33.Предел числовой последовательности.
- •34.Предел функции на бесконечности.
- •32.Угол между прямой и плоскостью
- •35.Предел функции в точке.
- •36.Бесконечно малые функции. Связь бесконечно малой функции и функции, имеющей предел.Свойства бесконечно малых функций.
- •37.Бесконечно большие функции.Их свойства.Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций.
- •38.Теорема о единственности предела.Основные теоремы о пределах.Предел сложной функции.
- •Теорема о пределе сложной функции.
- •39.Признаки существования пределов.
- •Теорема о сохранении функцией знака своего предела
- •40.Первый замечательный предел.
- •41. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры эквивалентных бесконечно малых функций.
- •42.Второй замечательный предел.Число е.Важные пределы как следствие второго замечательного предела.
- •43.Задача о непрерывном начислении процентов.
- •44.Непрерывность функции в точке.Приращение функции,приращение аргумента.Свойства функций, непрерывных в точке.
- •45.Непрерывность функции на отрезке.
- •46.Классификация точек разрыва.
- •47.Задача о скорости неравномерного прямолинейного движения.
- •48.Задача о касательной, приводящая к понятию о производной.
- •49.Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Примеры недифференцируемых функций в точке.
- •Замечание
- •54.Производная степенной функции. Логарифмическая производная.
- •55.Производные высших порядков.
18.Общее уравнение прямой на плоскости. Случаи расположения прямой относительно осей координат.Уравнение прямой в отрезках.
Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой (рис. 20). Тогда , , то есть
.
(2.12) – уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Рис. 20
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (2.12), получим . Обозначим , уравнение примет вид
. – общее уравнение прямой на плоскости.
Если в уравнении (2.13) , , , то, перенеся слагаемое С в правую часть и разделив на него обе части уравнения, получим
, или . Обозначим , , тогда уравнение примет вид
(2.14)
(2.14) – уравнение прямой в отрезках, здесь a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 21): из уравнения (2.13) при получим , а при .
Рис. 21
19.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
. (2.15)
(2.15) – каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
. (2.18)
Рис. 23
Выразив из (2.18) : и обозначив , получим
. (2.19)
(2.18), (2.19) – уравнения прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.19) – ордината точки пересечения прямой с осью .
20.Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (на плоскости).
Пусть на прямой заданы две точки и . Тогда вектор является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.15), можно записать
. (2.17)
(2.17) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
21.Угол между двумя прямыми (на плоскости). Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Пусть прямые и заданы соответственно уравнениями , , где , . Обозначим угол между прямыми: (рис. 24). Тогда , .
Рис. 24
Таким образом,
. (2.20)
Если , то , а следовательно, , то есть k1= k2.
Если , то , не определен, , следовательно, , или .
Если прямые и заданы соответственно уравнениями
, , где , – нормальные векторы прямых, то , или .
Если , то , следовательно, .
Если , , то есть .