- •Комплексное число. Алгеброическая, тригонометрическая и показательные формы записи.
- •Действия над комплексными числами. Возведение в степень. Извлечение корня n-ой степени.
- •Понятие функции. Способы задания
- •Аналитический способ
- •Графический способ. Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть - вещественная функция n переменных.
- •4.Числовая последовательность, ее предел. Свойства пределов.
- •Свойства пределов функции
- •Предел функции
- •6.Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •7. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •8. Первый замечательный предел. Следствия.
- •9.Второй замечательный предел. Следствия.
- •10.Непрерывность функции. Односторонние пределы.
- •11. Классификация точек разрыва.
- •12. Производная. Физический и геометрический смысл
- •Физический смысл производной.
- •13. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования
- •15.Производные суммы, произведения функций
- •17. Производная сложной функции Производная сложной функции:
- •18. Производная неявной и параметрически заданной функции
- •19. Логарифмическое дифференцирование. Производные функций
- •20. Производная обратной функции. Производные .
- •21 Производные высших порядков
- •23. Теорема Роля
- •25. Теорема Коши.
- •28. Формула Тейлора для многочлена
- •29. Формула Тейлора для функций
- •32. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
- •33. Асимптоты кривой
- •35. Задачи на наибольшее и наименьшее значение функций
- •36. Понятие первообразной. Неопределённый интеграл. Его свойства
- •41. Интегрирование иррациональных выражений
- •42. Определённый интеграл. Определение. Геометрический смысл
- •43. Определённый интеграл. Свойства
- •44. Интеграл с переменным верхним пределом
- •45. Формула Ньютона – Лейбница
Комплексное число. Алгеброическая, тригонометрическая и показательные формы записи.
Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. Мнимые числа), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица.
Алгебраическая форма
Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2 = − 1):
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);
Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
z = r(cos φ + isin φ).
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
z = reiφ,
где eiφ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
Действия над комплексными числами. Возведение в степень. Извлечение корня n-ой степени.
Сравнение
a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
Сложение
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
Умножение
Деление
Операцию возведения в степень удобнее выполнять, когда комплексное число записано в тригонометрической или в показательной форме.
,
Определение. Корнем n -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равна подкоренному числу.
Из этого определения следует, что из равенства следует равенство .
Из равенства комплексных чисел следует , а аргументы отличаются на число, кратное ; . Отсюда , . Здесь есть арифметическое значение корня, а k – любое целое число. Таким образом, получается формула .
В этой формуле число k может принимать всевозможные целые значения, но различных значений корня будет только n и они соответствуют значениям k = 0, 1, 2, … , n - 1.
Докажем этот факт. Действительно, правые части в этой формуле различны тогда, когда аргументы и отличаются на величину, не кратную , и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются на величину, кратную . Поэтому разность
не может быть кратна . Из этого результата и следует, что любым подряд взятым n целым числам k соответствуют n различных значений корня.
Пусть теперь k3– целое число, не входящее в эту последовательность подряд взятых значений k . Это число можно представить в виде k3= gn + ki, где g – целое число, а ki – одно из чисел этого ряда, поэтому , то есть значению k3 соответствует то же значение корня, что и значению ki.
Вывод: корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключением из этого правила является лишь частный случай, когда извлекается корень из нуля. В этом случае все значения корня равны нулю.