БДПУ імя М.Танка

матэматычны факультэт

кафедра алгебры і геаметрыі

(II курс, 1 семестр)

Раздзел 1 геаметрычныя пабудаванні на плоскасці

§ I. Сістэма аксіём пабудаванняў лінейкай і цыркулем

Рашэннем задачы на пабудаванне называецца такая фігура, якая задавальняе усім умовам задачы.

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні. Разгледзім спачатку агульныя аксіёмы пабудаванняў на плоскасці.

AA₁

. Кожная з дадзеных фігур

F₁ , F₂ ,..., F_n

пабудавана. Гэта аксіёма патрабуе, каб

_{кожная з дадзеных фігур на плос-касці была нарысавана.}

^AA₂ ^{. Калі фігуры F}₁

^{і F}₂

пабудаваны, то пабудавана і іх аб’яднанне F₁ 

F₂ .

^AA₃ ^{. Калі фігуры}

^F₁ ^{і F}₂

пабудаваны ( маюць непустое перасячэнне, то гэтае

перасячэнне

F₁ 

^F₂ ^{пабудавана.}

AA₄ . Калі фігуры пабудавана.

F₁ і F₂

пабудаваны і F₂ 

F₁ ,

F₁ 

F₂ , то дапаўненне

F₁ \ F₂ ,

AA₅ . Калі фігура F пабудавана, то можна пабудаваць пункт, які належыць гэтай фігуры.

AA₆ . Калі фігура F пабудавана і адрозніваецца ад плоскасці пабудаванняў, то можна пабудаваць пункт, які не належыць гэтай фігуры F .

₁

Дапушчальнымі сродкамі ў класічнай тэорыі геаметрычных пабудаванняў з’яўляюцца

лінейка і цыркуль, якія пры гэтым лічацца абстрактнымі. Канструктыўныя іх мажлівасці апісваюцца а.ксіёмамі.

Аксіёма лінейкі Калі два розныя пункты А і В пабудаваны, то можна пабудаваць

_{прамень АВ.}

Адсюль на аснове аксіём

AA₂ ,

AA₃

вынікае, што калі два розныя пункты А і В

пабудаваны, то можна пабудаваць прамую АВ і адрэзак АВ .

Аксіема цыркуля Калі пабудаваны пункт 0 і адрэзак АВ, то можна пабудаваць акружнасць (0,R), цэнтрам якой з’яўляецца пункт 0 , а радыус R роўны адрэзку АЕ.

§ 2. Прасцейшыя і асноўныя эадачы на пабудаванне

Сістэма аксіём дазваляе выконваць наступныя прасцейшыя пабудаванні:

І-3) Пабудаваць прамень АВ , адрэзак АВ і прамую АВ калі пабудаваны розныя між

сабою пункты А і В.

4) Пабудаваць акружнасць, калі пабудаваны яе центр і адрэзак, роўны радыусу гэтай

акружнасці.

5-7) Пабудаваць пункт перасячэння двух пабудаваных непаралельных прамых, пункты перасячэння пабудаваных прамой і акружнасці і двух пабудаваных акружнасцей, калі такія пункты існуюць.

8-9) Пабудаваць пункт, які належыць пабудаванай фігуры і пункт, які не належыць пабудаванай фігуры ў выпадку, калі гэта фігура адрозніваецца ад плоскасці пабудаванняў.

Такім чынам, пабудаванне шукаемай фігуры лінейкай і цыркулем павінна быць выканана праз канечнае мноства прасцейшых пабудаванняў.

Разгледзім некаторыя камбінацыі прасцейшых пабудаванняў. Будзем называць іх асноўнымі пабудаваннямі або элементарнымі задачамі на пабудаванне. Пабудаванне шукаемай фігуры зводзяць да гэтах асноўных пабудаванняў.

1. Пабудаванне вугла, роўнага дадзенаму.

2. Пабудаванне бісектрысы вугла.

3. Дзяленне адрэзка папалам.

4. Пабудаванне перпендыкулярнай прамой.

5. Пабудаванне прамой, паралельнай дадзенай.

6. Пабудаванне трохвугольніка з дадзенымі старанамі.

7. Пабудаванне трохвугольніка па старане і двух прылеглых да яе вуглоў.

8. Пабудаванне трохвугольніка па дзвюх старанах і вуглу паміж імі.

9-10.Пабудаванне прамавугольнага трохвугольніка па гіпатэнузе і востраму вуглу і па гіпатэнузе і катэту.

_{II. Пабудаванне датычнай да дадзенай акружнасці.}