Раздел IV. Элементы теории вероятностей в социологических исследованиях. Лекция 3 Основные теоремы теории вероятностей.

План:

1. Теоремы сложения вероятностей.

2. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

4. Формула Бернулли и наивероятнейшее число наступлений события.

5. Асимптотические формулы для вычисления биномиальных вероятностей.

1. Теоремы сложения вероятностей

Напомним, что два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом опыте. Например, «положительный исход экономической операции» и при этом «минимальные фактические издержки»; «на брошенной кости выпало число 6» и «на брошенной кости выпало четное число»; «наугад выбранный студент ФФСН – отличник» и «наугад выбранный студент ФФСН – женского пола».

Два события называются несовместными в данном опыте, если они не могут произойти вместе в одном и том же опыте. Или события А и В называются несовместными, если их произведение является невозможным событием, т.е. . Примеры несовместных событий: «на брошенной кости выпало число 6» и «на брошенной кости выпало нечетное число»; «наугад выбранный студент житель Солигорска – шахтер» и «наугад выбранный житель Солигорска – женского пола».

1) вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления:

.

Пример 1. Подбрасывается игральный кубик. Найти вероятность того, что на верхней грани выпадет четное или кратное трем число.

Решение. Введем обозначения событий: А={выпало четное число}; В={выпало число, кратное трем}. Тогда АВ – событие, состоящее в том, что выпало четное число, кратное трем. По теореме сложения вероятностей двух событий имеем

где		(т.к. общее число исходов этого эксперимента n=6, а число благоприятных исходов m=3: выпало либо 2, либо 4, либо 6 очков)
		(может выпасть либо 3, либо 6 очков – имеем 2 благоприятных исхода)
		(четное число, кратное трем – это 6, тогда имеем один благоприятный исход)
	.

2) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

.

Пример 2.В урне 15 голубых, 10 зелёных и 25 белых шаров. Найти вероятность того, что из урны будет наугад извлечён цветной шар.

Решение. Извлечение цветного шара означает появление либо голубого, либо зелёного шара. Пусть событие А означает появление голубого шара, тогда . Пусть событие В означает появление зелёного шара, тогда . Так как события А и В несовместны, то .

Следствие 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице .

Следствие 2. Вероятность противоположного события вычисляется так: .

2. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Напомним, что два события и называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от появления другого события. В противном случае события называются зависимыми.

События называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Пример 3. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Рассмотрим событие . Очевидно, . Положим взятый шар обратно в урну и перемешаем шары. Событие также имеет вероятность , т.е. события и независимые. Предположим теперь, что взятый в первом испытании шар не кладется обратно в урну. Тогда, если произошло событие , т.е. в первом испытании взят белый шар, то вероятность события уменьшается ( ); если же в первом испытании был взят черный шар, то вероятность увеличивается ( ). Здесь вероятность события зависит от появления или не появления события , т.е. события и зависимые.

Определение. Пусть и – зависимые события. Условной вероятностью (обозначается (или ) события называется вероятность события , найденная в предположении, что событие уже наступило.

– условная вероятность события B при условии, что событие А уже произошло.

Так, в рассмотренном примере .