2.5. Нормальное распределение

Пример 16. Средний процент выполнения плана некоторыми предприятиями составляет 105 %, среднее квадратическое отклонение – 5 % . Полагая, что выполнение плана предприятиями подчинено закону нормального распределения, вычислить долю предприятий, выполняющих план от 110 до 130 %, то есть определить вероятность попадания рассматриваемой величины в интервал ( 110, 130).

Решение. Случайная величина X – выполнение плана предприятиями; она имеет нормальное распределение с параметрами:

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой:

Пример 17. Длина изготовляемой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средняя длина детали равна 50 мм, а дисперсия – 0,25 мм². Какое поле допуска длины изготовляемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,99?

Решение. Длина изготовляемой детали – случайная величина X, имеющая нормальный закон распределения с параметрами:

 =  (X) = 50 мм,  =  (X) =   = 0,5.

Известна вероятность, гарантирующая некоторое поле допуска, то есть Р( X ) = 0,99. Чтобы найти это поле допуска, воспользуемся формулой:

Неравенство X–   эквивалентно неравенству , следовательно, и равновероятно, то есть

Исходя из условия задачи, можем записать:

= 0,99; = 0,495.

По таблице значений функции Лапласа (прил. 2) находим = 2,58.

Отсюда  = 2,58  = 1,29, тогда 50 – 1,29  X  50 + 1,2 или 48,71  X  51,29.

Математическая статистика

3. Выборочный метод

3.1. Вариационный ряд. Статистические распределения. Эмпирическая функция распределения. Графическое представление статистических распределений

Пример 18. Имеется распределение 80 предприятий по числу работающих на них (чел.):

	150	250	350	450	550	650	750
	1	3	7	30	19	15	5 .

Решение. Признак Х – число работающих (чел.) на предприятии. В данной задаче признак Х является дискретным. Поскольку различных значений признака сравнительно немного – k = 7, применять интервальный ряд для представления статистического распределения нецелесообразно (в прикладной статистике в подобных задачах часто используют именно интервальный ряд). Ряд распределения – дискретный. Построим полигон распределения частот (рис. 14).

Рис. 14

Пример 19. Дано распределение 100 рабочих по затратам времени на обработку одной детали (мин):

xi–1–xi	22–24	24–26	26–28	28–30	30–32	32–34
	2	12	34	40	10	2 .

Решение. Признак Х – затраты времени на обработку одной детали (мин). Признак Х – непрерывный, ряд распределения – интервальный. Построим гистограмму частот (рис.15), предварительно определив (k = 6) и плотность частоты :

xi–1–xi	22–24	24–26	26–28	28–30	30–32	32–34
	1	6	17	20	5	1 .

Рис. 15

Пример 20. В распределении, данном в примере 18, найти накопленные частоты H( _i ) и построить кумуляту.

Решение. Используем: H(x₁) = 0, H(x_i) = H(x_i–1) + m_i–1 (i=2,3,, k+1 , k = 7).

i	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	150	250	350	450	550	650	750	850
mi	1	3	7	30	19	15	5	0
H( i )	0	0+1=1	1+3=4	4+7=11	11+30=41	41+19=60	60+15=75	75+5=80.

На рис.16 показана кумулята распределения предприятий по числу работаю­щих (чел.).