- •2)Алгебраическая форма
- •3)Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •4)Тригонометрическая и показательная формы
- •10) Однородные уравнения
- •11) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •12) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •13) Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
- •14) Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- •15) Ифференциальные уравнения высших порядков
- •3.1. Основные понятия
- •17) Признаки сходимости и расходимости рядов с неотрицательными членами.
- •19) Признак Коши.
1
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:
Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
a = c и b = d. |
Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
a + c + i(b + d). |
Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
ac – bd + i(ad + bc). |
|
|
2)Алгебраическая форма
Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2 = − 1):
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);
3)Геометрическая интерпретация комплексного числа
Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называетсядействительной, а Oy - мнимой.
Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число
называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.
4)Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
z = r(cos φ + isin φ).
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
z = reiφ,
где eiφ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
6) Извлечение корней из комплексных чисел
7) Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее некоторую функцию с ее производными. Решить дифференциальное уравнение — найти функции, при подстановке которых в уравнение оно обращается в тождество. Большинство физических законов записывается в виде дифференциальных уравнений. Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона: F = ma
где сила F является функцией координат и времени, ускорение a = v'(t) = x''(t) — производная скорости и вторая производная координаты по времени.
8) Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.
Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:
где функции P(t,x) и Q(t,x) определены и непрерывны в некоторой области .
9) 1.2.3. Утверждение об уравнении с разделенными переменными. Пусть в уравнении
f(x)dx = g(t)dt, |
(3) |
функции f и g на своих областях определения имеют первообразные F и G:
F′(x) = f(x) (x ∈ D(f)), G′(t) = g(t) (t ∈ D(g)). |
(4) |
Тогда уравнение (3) эквивалентно уравнению
F(x) = G(t) + C (x ∈ D1). |
(5) |
Другими словами, (5) есть полный интеграл уравнения (3).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть область определения D(φ) функции x = φ(t) есть промежуток и φ есть решение уравнения (3). Это означает, что
[f(x)dx – g(t)dt]|x = φ(t), dx = φ′dt = 0 (t ∈ D(φ), dt ∈ R). |
В силу условий (4) последнее равенство эквивалентно тождеству
d[F(x) – G(t)]|x = φ(t), dx = φ′dt)] ≡ 0 (t ∈ D(φ), dt ∈ R), |
которое в силу инвариантности формы первого дифференциала, в свою очередь, эквивалентно соотношению
d[F(φ(t)) – G(t)] = 0 (t ∈ D(φ), φ ∈ D1). |
Наконец, последнее, очевидно эквивалентно тождеству
F[φ(t)] = G(t) + C (t ∈ D(φ), φ ∈ D1), |
означающему, что φ — решение (5).