Упражнение 53.

Найдите ГМТ плоскости, удовлетворяющих системе неравенств:

Упражнение 54.

Найдите ГМТ плоскости, удовлетворяющих системе неравенств:

XII. Текстовые задачи на составление уравнений.

Текстовые задачи нам предстоит решать долго, на протяжении ряда последующих лет. Среди них, как всегда, есть разные по трудности и по методам решения. Что хотелось бы сказать в качестве напутствия?

Во-первых, в задачах на движение (да и не только в них) полезно рисовать схематически то, что происходит в задаче, например, путь между пунктами А и В, отмечать места встреч, остановок в пути, стрелками обозначать величины и направление скоростей движущихся объектов и т.п. Зачастую решению помогает графическое изображение задачи, и даже геометрические соображения.

В задачах на составление уравнений важно удачно выбрать переменные (неизвестные) величины и в соответствии с условиями задачи, составить уравнения.

Следует помнить также, что если в задаче требуется найти какое-то соотношение неизвестных объектов (например, сумму или отношение скоростей), то вовсе необязательно (обычно это и невозможно бывает, так как для определения неизвестных не хватает данных) находить все неизвестные. Само соотношение может быть инвариантом, который определяется однозначно условиями задачи, в то время как отдельные переменные, которые в нём фигурируют, могут меняться.

Следует также не забывать о единицах измерения, в которых вы меряете величины. Часто бывает, что они даны в разных масштабах (см, м и км, например, или секунды и часы). Их надо привести к одному масштабу. Под скоростью мы понимаем среднюю скорость на каком-то временном промежутке. Например, скоростью движения велосипедиста на отрезке пути от А до В называется величина, равная длине этого отрезка пути, делённой на время, которое он затратил на этот путь. Соответственно, измеряется скорость в единицах длины/единицу времени. Например, км/ч или м/с или ярд/мин и т.д. Можно говорить и о скорости работы, какого-то иного процесса.

Тогда в числителе будут находиться скошенные за какое-то время гектары, число произведённых деталей, покрашенных досок и т.п., а в знаменателе по-прежнему время.

Ускорением называется скорость изменения скорости, т.е. разность скоростей, измеренная за какое-то время, делённая на это время. Его размерность, поэтому = (ед. скорости)/ед. времени = ед. расстояния/ ед. времени². Например, см/сек², м/сек², км/ч² и т.д.

При решении уравнений важно научиться искусству замены переменных – уметь находить новые переменные, в которых уравнения приобретают простой вид, и их легко решить. Найдя же новые переменные и, вспоминая, как они выражаются через старые, мы найдём и нужные нам неизвестные величины.

И последнее: преобразуя уравнения, мы можем приобрести посторонние корни (решения), которые не входят в ОДЗ (область допустимых значений переменных) исходного уравнения. Поэтому, заканчивать решение нужно всегда проверкой – подстановкой найденных величин в исходные уравнения.

Деля же уравнение («сокращая на общий множитель») мы можем потерять корни (соответствующие нулевым значениям делителя).

Упражнение 55.

На двух полках стоит 55 книг. Если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой полке станет в 4 раза больше книг, чем на второй. Сколько книг стоит на каждой полке?

Упражнение 56.

Решить уравнение : .

Формула Виета для квадратного трёхчлена.

Перемножим (x-p)(x-q)=x²+bx+c. Получим: p+q=-b, pq=c. Вывод: если мы найдём два числа р и q, таких, что их сумма равна взятому с обратным знаком коэффициенту при х в квадратном трёхчлене, а произведение равно свободному члену, то этот квадратный трёхчлен разлагается в произведение (x-p)(x-q). Пример: х²-5х+6. 2+3=5; 23=6  х²-5х+6=(х-2)(х-3).

Упражнение 57.

Решить уравнения

1. 

1. 

Упражнение 58.

Решить квадратные уравнения:

1. 5х-х²=0

2. 9-х²=0

3. х²-3х+2=0

Упражнение 59.

В одном классе гимназии мальчиков в 1,2 раза больше, чем девочек. Сколько девочек в этом классе, если их на две меньше, чем мальчиков?

Упражнение 60.

За 4ч езды на машине и 7ч езды на поезде туристы проехали 651 км. Какова скорость поезда, если она на 5км/час больше скорости автомашины?

Упражнение 61.

Теплоход идёт сначала 3 часа по течению реки, а затем 2 часа против течения реки и за это время проходит путь длиной в 240км. При этом за 3 часа против течения реки он проходит расстояние на 35 км больше, чем за 2 часа по течению реки. Найти скорость течения реки и скорость теплохода в озере.

Упражнение 62.

Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 280км, выходят одновременно два автомобиля. Если они будут двигаться навстречу друг другу, то встретятся через 2 часа. Если же они будут двигаться в одном направлении, то автомобиль, вышедший из А догонит автомобиль, вышедший из В, через 14 часов. Найти скорости автомобилей.

Упражнение 63.

Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше?

Следующие задачи решаем введением «лишних» (вспомогательных) неизвестных.

Упражнение 64.

Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15км/ч, а возвращался со скоростью 10км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста за всё его время в пути?

Упражнение 65.

На дороге, соединяющей два горных селения, нет ровных участков. Автобус едет в гору со скоростью 30км/час, а под гору со скоростью 60км/час. Найти расстояние между селениями, если путь туда и обратно без остановок занимает ровно 2 часа.

Упражнение 66.

В некотором царстве правительство вынесло на всенародное обсуждение проект закона о запрете рекламы спиртных напитков и табака. Этот проект поддержало 69% взрослого населения, принявшего участие в голосовании. «За» проголосовало 94% женщин и 41% мужчин. Кого среди голосовавших было больше и насколько – женщин или мужчин?

Упражнение 67.

(МИИТ, 2002) Каждый из 77 родственников Кролика имеет от одного до четырёх платков, так что всего имеется 195 платков. Известно, что количество родственников, имеющих 4 платка, равно количеству родственников, имеющих 2 платка. Чему равно количество родственников с одним платком?

Упражнение 68.

Турист проехал расстояние между двумя городами за три дня. В первый день он проехал всего пути и ещё 60км, во второй всего пути и ещё 20км и в третий день - всего пути и оставшиеся 25км. Найти расстояние между городами.

Упражнение 69.

Из города А в город В выезжает велосипедист, а через 3 часа после его выезда из города В навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше, чем скорость велосипедиста. Велосипедист и мотоциклист встречаются посередине между А и В. Сколько часов в пути до встречи был велосипедист?

Упражнение 70.

Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 минуты. Увеличив после этого свою скорость на 10км/ч, он наверстал опоздание за 80км. Определить скорость мотоциклиста до задержки у шлагбаума.

Упражнение 71.

Кот Матроскин и почтальон Печкин были в гостях у дяди Фёдора и теперь возвращаются в Простоквашино. Им надо преодолеть расстояние в 10км, но на двоих у них имеется только один велосипед, и ехать на нём может только кто-то один. Поэтому они решили так: один из них едет на велосипеде, через какое-то время слезает, оставляет велосипед и продолжает путь пешком. Второй доходит до велосипеда, садится на него и т.д. На велосипеде они могут ехать со скоростью 10км/ч, пешком Печкин ходит со скоростью 4 км/ч, а Кот - 5 км/ч.

За какое время они смогут вернуться домой?

Упражнение72.

Разность половины одного числа и двух третей другого равна двум. Если первое число уменьшить на пять шестых его, а второе увеличить на одну шестую его, то их сумма будет равна 59. Найдите эти числа.

Упражнение 73.

Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15км/ч, а возвращался со скоростью 10км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всём участке?

Упражнение 74.

Два туриста вышли одновременно из двух городов, расстояние между которыми 38км, и встретились через 4 ч. С какой скоростью шёл каждый турист, если известно, что первый прошёл до встречи на 2км больше второго?

Упражнение 75.

Петя купил столько коробок с мылом, сколько было кусков мыла в коробке, а его сестра купила на 3 коробки меньше, но в каждой коробке было на 3 куска мыла больше. У кого из них больше кусков мыла и на сколько?

Упражнение 76.

(Задача Диофанта). Докажи, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух натуральных чисел, также является суммой квадратов двух натуральных чисел.

Упражнение 77.

(Задача Софи Жермен). Докажи, что для любых натуральных а1 число а⁴+4 является составным.

Упражнение 78.

За 4мин через первую трубу поступило воды на 1л меньше, чем за 3мин через вторую трубу. Если первую трубу открыть на 5мин, а вторую на 1мин, то поступит 32л воды. Сколько л воды поступает за 1мин через каждую трубу?

Упражнение 79.

К приезду начальника на станцию присылают машину. Однажды он приехал на станцию на час раньше и пошёл пешком. По дороге он встретил едущий за ним автомобиль, сел в него и приехал на место работы на 10 минут раньше обычного.

Во сколько раз скорость машины больше скорости начальника?

Упражнение 80.

Решите для всех возможных значений a, b, c, d систему уравнений

Упражнение 81.

Бассейн заполняют горячей и холодной водой, текущей из двух кранов. Оба крана заполняют бассейн за 1 час 20 минут. Если первый кран работает 10мин, а второй 12мин, то заполняется бассейна.

За какое время наполнит бассейн кран с холодной водой?

Упражнение 82.

Путник вышел из А в В. Первую половину времени, затраченного им на переход он шёл со скоростью 5км/ч, а затем пошёл со скоростью 4км/ч. Второй путник вышел из А в В одновременно с первым, но половину пути он шёл со скоростью 4км/ч, а затем пошёл со скоростью 5км/ч. Кто из них первым придёт в В?

Упражнение 83.

Лодка проплыла расстояние между пристанями на реке за 3,5ч, а обратно за 2,5 ч. Во время движения собственная скорость лодки (относительно воды) была постоянна.

За какое время эта лодка с этой же скоростью пройдёт это же расстояние по озеру?

Упражнение 84.

(Китай, IIв) Всей деревней в складчину покупают буйвола. Если каждые 7 семей внесут по 190 юаней, то для покупки буйвола не хватит 330 юаней, если же каждые 9 семей внесут по 270 юаней, то смогут купить буйвола и ещё останется 30 юаней. Сколько семей живёт в этой деревне и сколько стоит буйвол?

Упражнение 85.

Половина дороги, соединяющей два горных селения, проходит по ровной местности. Автобус едет в гору со скоростью 30км/ч, под гору со скоростью 60км/ч, а по ровной местности скоростью 50км/ч. Каково расстояние между горными селениями, если путь туда и обратно без остановок занимает 2ч 15мин?

Упражнение 86.

Продолжительность рабочего дня составляет 8 часов. Первая бригада выполняет задание за 56 часов, а вторая за 112 часов. Мастер рассчитал, что работу можно организовать так, что сначала над выполнением задания будет работать первая бригада, а затем вторая, при этом задание будет выполнено за 8 дней.

Сколько дней должна работать каждая бригада?

Упражнение 87.

Брат и сестра одновременно начали сбор малины. Брат собирал ягоды в четырехлитровую корзину, а сестра в трёхлитровую. Брат собирал ягоды в 1,5 раза быстрее сестры. В какой-то момент они поменялись корзинами и закончили сбор ягод одновременно. Сколько л ягод собрал брат за всё это время? Сколько л ягод собрала сестра до обмена корзинами?

Упражнение 88.

Отец и сын принялись косить два соседних участка, участок отца был на 1 сотку больше. Когда сын выкосил половину своего участка, они присели отдохнуть и подсчитали, что отец косит в два раза быстрее сына и что если они продолжат работать с такой же скоростью, то, поменявшись участками, закончат работу одновременно. Определите площадь каждого участка.

Упражнение 89.

Сулико подошла к роднику с двумя кувшинами общей вместимостью 8л. Вода из родника текла двумя струями, одна из них была полноводнее другой в три раза. Сулико поставила одновременно два кувшина под струи и, когда набралась половина меньшего кувшина, она поменяла кувшины местами.

Определите объём каждого кувшина, если наполнились они одновременно.

Упражнение 90.

Торговец, имея сотню лимонов, роздал их трём разносчикам, с тем, чтобы они продавали их по одной и той же цене. Вернувшись домой, первый отдаёт хозяину вырученные от продажи 1р.80к. и оставшиеся непроданными четыре лимона, второй отдаёт1р.60к. и три лимона, третий отдаёт 1р.20к. и один лимон. Сколько лимонов дано было каждому для продажи?

Упражнение 91.

Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению реки, лодке требуется времени в три раза меньше, чем против течения.

Во сколько раз скорость лодки больше скорости реки?

Упражнение 92.

Пловец по течению реки проплыл 150м. Когда же он поплыл против течения, то за такое же время его снесло ниже по течению на 50м.

Во сколько раз скорость течения реки больше скорости пловца?

Упражнение 93.

Скорость велосипедиста в три раза больше скорости пешехода. Они одновременно отправились из двух городов навстречу друг другу. Во сколько раз больше времени после встречи будет находится в пути пешеход, чем велосипедист?

Упражнение 94.

Две старушки вышли одновременно из двух городов навстречу друг другу. Они встретились в полдень и достигли своих пунктов назначения первая в 4 часа пополудни, а вторая в 9 часов. Когда они вышли из своих городов?

Упражнение 95.

Решите системы:

1. 

2. 

3. 

Упражнение 96.

Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник прибыл в В на 1,5 часа раньше пешехода и тут же возвратился в А. Весь путь у него занял три часа. На обратном пути он встретил пешехода в 5км от В.

Найдите скорость всадника и скорость пешехода, а также расстояние от А до В.

Упражнение 97.

Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды, через 15 мин после выхода из школы, первый побежал обратно в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в два раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6мин позже обычного.

Во сколько раз скорость бега первого брата больше скорости ходьбы братьев?

Упражнение 98.

Два парома курсируют между двумя берегами реки с постоянными скоростями. Достигнув берега, каждый из них тут же отправляется обратно. Паромы отчалили от противоположных берегов одновременно, и первый раз встретились в 700км от одного из берегов, поплыли дальше каждый к соответствующему берегу, затем повернули назад и вновь встретились в 400м от другого берега. Найдите ширину реки.

Упражнение 99.

Если человек идёт пешком на работу, а обратно возвращается на транспорте, то дорога занимает у него полтора часа. Если же в оба конца он едет на транспорте, то дорога занимает у него полчаса. Какое время этот человек затратит на дорогу, если и на работу и домой он пойдёт пешком?

Упражнение 100.

Из пункта А в пункт В одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в полтора раза больше скорости другого. Мотоциклист, который первым прибыл в В, сразу же отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил через 2ч 24мин после выезда из А. Между А и В 120км. Найдите скорости мотоциклистов.

Упражнение 101.

На элеватор поступило 1400т пшеницы двух сортов. При обработке пшеницы одного сорта оказалось 2% отходов, а другого сорта -3% отходов. Чистой пшеницы в итоге получилось 1364т. Сколько пшеницы каждого сорта поступило на элеватор?

Упражнение 102.

Расстояние между пристанями А и В теплоход проходит по течению за 5 часов, а против течения за 6 часов. За какое время проплывёт по течению это расстояние плот?

Упражнение 103.

Катер по течению проплывает 90 км за то же время, за какое против течения он проплывает 70км. Какое расстояние за это же время проплывёт по течению реки плот?

Упражнение 104.

Найдите параметр m, если известно, что через одну и ту же точку с абсциссой х=1 проходят графики функций у=-4х+m и y=2x-3

Упражнение 105.

Являются ли тождествами равенства: a) |a+b|=|a|+|b|; b) |ab|=|a||b|?

Упражнение 106.

1. имеет ли уравнение х⁴+3х³+2х²+х+6=0 положительные корни?

2. имеет ли уравнение х⁶-х⁵+х⁴-х³+х²-х+1=0 отрицательные корни?

3. Замени букву р на выражение так, чтобы равенство стало тождеством: р⁵=х²⁰; р⁷=х²¹; р³с⁸=с²⁰; у⁷(у²)⁴ = р⁵.

4. При каком значении х удвоенное произведение двучленов х+2 и х-2 меньше суммы их квадратов на 16?

Упражнение 107.

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1. (a-3)(a²-8a+5)- (a-8)(a²-3a+5);

2. (x²-3x+2)(2x+5)-(2x²+7x+17)(x-4)

Упражнение 108.

Докажите, что при любом целом значении n число является целым.

Историческая справка.

В теорию систем линейных уравнений, как и во многие другие области математики, решающий вклад внёс великий немецкий математик Карл Гаусс. Поэтому в этот конспект помещаем его краткую биографию.

Карл Гаусс родился 30 апреля 1777, Брауншвейг, ныне Германия. Скончался 23 февраля 1855, Геттинген, Ганноверское королевство, ныне Германия), немецкий математик, астроном, геодезист и физик.

Еще при жизни Гаусс был удостоен почетного титула «принц математиков». Он был единственным сыном бедных родителей. Школьные учителя были так поражены его математическими и лингвистическими способностями, что обратились к герцогу Брауншвейгскому с просьбой о поддержке, и герцог дал деньги на продолжение обучения в школе и в Геттингенском университете (в 1795-98).

Степень доктора Гаусс получил в 1799 в университете Хельмштедта.

Первое же обширное сочинение Гаусса «Арифметические исследования» (опубликовано в 1801) на многие годы определило последующее развитие двух важных разделов математики — теории чисел и высшей алгебры. Из множества важных и тонких результатов, приведенных в «Арифметических исследованиях», следует отметить подробную теорию квадратичных форм и первое доказательство квадратичного закона взаимности. В конце сочинения Гаусс приводит полную теорию уравнений деления круга и, указывая их связь с задачей построения правильных многоугольников, решает стоявшую с античных времен проблему о возможности построения циркулем и линейкой правильного многоугольника с заданным числом сторон. Гаусс указал все числа, при которых построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки возможно. Это пять так называемых гауссовых простых чисел: 3, 5, 17, 257 и 65337, а также умноженные на любую степень двойки произведения различных (не повторяющихся) гауссовых чисел. Например, построить с помощью циркуля и линейки правильный (3х5х17)-угольник можно, а правильный 7-угольник нельзя, так как семерка не гауссово простое число.

Разумеется, доказанный Гауссом результат — пример так называемой чистой теоремы существования; утверждается, что построить с помощью циркуля и линейки правильный многоугольник с «допустимым» числом сторон можно, но ничего не говорится о том, как это сделать. Карл Гаусс предложил также явный способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника. Это событие Гаусс посчитал столь значительным, что отметил его в «Дневнике» (запись от 30 марта 1796 ) и завещал высечь правильный 17-угольник на своем надгробии (воля Гаусса была исполнена).

С именем Гаусса также связана основная теорема алгебры, согласно которой число корней многочлена (действительных и комплексных) равно степени многочлена (при подсчете числа корней кратный корень учитывается столько раз, какова его степень). Первое доказательство основной теоремы алгебры Гаусс дал в 1799, а позднее предложил еще несколько доказательств.

Гаусс живо интересовался не только «чистой математикой», но и ее приложениями. В области прикладной математики он не только получил ряд важных результатов, но и создал новые направления в науке.

Занимая с 1807 кафедру математики и астрономии Геттингенского университета и возглавляя астрономическую обсерваторию того же университета, Карл Гаусс на протяжении более двух десятилетий занимается изучением орбит малых планет и их возмущений. Мировую известность обрел разработанный Гауссом метод определения эллиптической орбиты по трем наблюдениям. Применение этого метода к малой планете Церера позволило вновь найти ее на небе после того, как она была утеряна вскоре после ее открытия астрономом Дж. Пиацци (1801). Не меньший успех сопутствовал применению метода Гаусса к другой малой планете, Палладе (1802).

В 1809 выходит фундаментальный труд Гаусса «Теория движения небесных тел», в котором изложены методы вычисления планетных орбит, используемые (с незначительными усовершенствованиями) и поныне.

В 1812 Карл Гаусс познакомил математический мир со своей гипергеометрической функцией, частным случаем которой являются многие из так называемых специальных функций математической физики. В той же работе он рассматривает и вопросы сходимости бесконечных рядов, важные для астрономических вычислений.

В 1818 Карл Гаусс одним из первых начинает размышлять над созданием неевклидовой геометрии, но от публикации полученных результатов воздерживается, опасаясь, по собственному признанию, «криков беотийцев» (т.е. возражений и насмешек невежд).

Десятилетие 1820-30 застает Гаусса за проведением геодезической съемки Ганноверского королевства и составлением его подробной карты. Гаусс не только проделывает огромную организационную работу и руководит измерением длины дуги меридиана от Геттингена до Альтоны, но и создает основы «высшей геодезии», занимающейся описанием действительной формы земной поверхности. Обобщающий труд «Исследования о предметах высшей геодезии» Гаусс создает в 1842-47. В основе этого фундаментального труда лежат также принадлежащие Гауссу идеи так называемой внутренней геометрии поверхности, изложенной им в сочинении «Общие исследования о кривых поверхностях» (1827). Локальные (т. е. характеризующие малую окрестность точки) свойства поверхности, по мысли Гаусса, естественнее связывать не с «посторонними», введенными извне, а с внутренними криволинейными координатами и выражать через дифференциальную форму от внутренних координат. Если поверхность изгибать не растягивая, то ее внутренние свойства остаются неизменными. Впоследствии по образу и подобию внутренней геометрии поверхностей Гаусса была создана многомерная риманова геометрия.

Непреходящее значение для всех наук, имеющих дело с обработкой наблюдений, имеют разработанные Гауссом методы получения наиболее вероятных значений измеряемых величин. Особенно широкую известность получил созданный Гауссом в 1821-23 гг. метод наименьших квадратов. Гауссом заложены также и основы теории ошибок.

Литература.

1. А. Шень «Простые и составные числа». М, МЦНМО 2005.

2. И.С. Соминский «Метод математической индукции» Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.

26