IV. Системы линейных уравнений.

Начнём с уравнения А+Х=В. Когда мы складываем известные величины, то зная процедуру (правило) выполнения операции, мы найдём сумму. А тут известна сумма и одно из слагаемых, а ищём другое слагаемое, неизвестное Х. Что нам даёт возможность его найти? При том однозначно? На самом деле – существование противоположного элемента для А. Ведь что мы можем сделать с уравнением? Знак равенства разделяет две равные величины – левую (слева от него) и правую. Раз они равны, то к ним можно прибавить одну и ту же величину. Прибавим её слева: (-А)+А+Х=(-А)+В. Левую часть преобразуем: ((-А)+А)+Х=0+Х=Х. Итак, Х=(-А)+В – сумме двух известных величин.

Продолжим тему рассмотрением уравнения АХ=В. По правилу умножения степеней, показатели степеней складываются, а 1=А⁰. Поэтому обратная к А=А¹ величина, это А^-1. Равные величины можно умножать на одну и ту же величину – равенство величин сохранится. Умножим уравнение слева на А^-1. (А^-1)АХ= (А^-1)В. И вновь, как и выше, находим выражение для искомого неизвестного: Х=А^-1В. Существование и единственность решения обеспечено существованием и единственностью обратного элемента по умножению.

Пример. Решить уравнение 3Х+0,5=3,5-Х. Прибавим к обеим частям (-0,5): 3Х+0,5+(-0,5)=3,5-Х+(-0,5)=3,5+(-0,5)-Х=3-Х; 3Х=3-Х. Прибавим к обеим частям Х: 3Х+Х=3-Х+Х; 4Х=3. Умножим обе части на элемент в Z, обратный к 4: 4^-14Х=4^-13; Х= . Обратите внимание, что если при вычислениях мы выполняем сначала умножения, а потом сложения, то решая уравнения мы выполняем эти действия в обратном порядке.

Рассмотрим теперь систему из двух линейных уравнений (уравнений первого порядка) с двумя неизвестными. Для начала рассмотрим простые частные случаи. Найти неизвестные Х и У, если они связаны условиями .

Работая с уравнениями, мы попеременно пользуемся всего двумя правилами: а) к равным величинам можно прибавлять равные же величины и б) равные величины можно умножать одновременно на одну и ту же величину. Воспользуемся первым из них и сложим левые и правые части обоих уравнений. (Х+Y)+(X-Y)=3+7  2X=10  X=5. Итак, сложение уравнений привело к исчезновению одного из неизвестных, и задача свелась к уже известной нам задаче нахождения одного неизвестного из одного уравнения. А потом, подставив его в одно из уравнений, мы опять получим уравнение с одним (вторым) неизвестным и решим его. Усложним теперь немного задачу. Пусть имеется система уравнений .

Тут уже не получится просто сложить два уравнения. Приходится перед этим сначала умножить одно из них. Умножим второе на (-2):  . А теперь сложим их: 7Y=-11, Y= .

Иной раз удобно бывает умножить каждое из уравнений отдельно прежде, чем сложить.

Упражнение 14.

Найдите неизвестные из следующей системы уравнений: .

V. Графическое решение уравнений.

Упражнение 15.

В одной и той же системе координат тремя разными цветами начертите графики трёх функций: а) y=0,5x; b) y=x; c) y=2x..

Что вы можете сказать о графиках функций y=kx когда параметр k меняется от 0 до +? Как будут расположены относительно нарисованных вами графиков графики функций a) y= x; y= x?