- •1. Уравнение Ляпунова для исследования устойчивой линейной системы.
- •2. Переходная матрица. Методы ее нахождения и ее свойства.
- •3. Решение линейной нестационарной системы в пространстве состояний.
- •4. Решение линейной стационарной системы в пространстве состояний.
- •5. Определение управляемости. Анализ управляемости системы.
- •6. Определение наблюдаемости. Анализ наблюдаемости системы.
- •7. Условия управляемости и наблюдаемости Гильберта.
- •8. Метод модального управления.
- •9. Основные свойства нелинейных систем
- •10. Основные типы нелинейностей.
- •11. Понятие фазовой плоскости, фазовой траектории и фазового портрета.
- •18. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации.
- •19. Понятие об эквивалентном комплексном коэффициенте усиления нелинейного элемента.
- •20. Нормированные коэффициенты гармонической линеаризации
- •21. Метод гармонического баланса.
- •22. Определение параметров автоколебаний методом гармонического баланса.
- •23. Критерий устойчивости автоколебаний Попова.
- •24. Анализ автоколебательных режимов с помощью логарифмических частотных характеристик.
- •25. Анализ смещенных автоколебаний.
- •26. Применение метода гармонического баланса для исследования системы, имеющей более одной нелинейной статической характеристики.
- •27. Критерий абсолютной устойчивости Попова.
- •28. Математическое описание процесса преобразования непрерывного сигнала в дискретный сигнал.
- •29. Математическое описание преобразователя дискретного сигнала в непрерывный сигнал.
- •30. Преобразование спектров сигнала при прохождении через импульсный элемент.
- •31. Частотные характеристики экстраполятора нулевого порядка.
- •32. Прохождение сигнала во временной и частотной областях через цепочку элементов а-к, цвм, к-а.
- •33. Передаточная функция и частотные характеристики программы интегрирования, реализованная на цвм методом Эйлера.
- •38. Исследование устойчивости дискретно-непрерывных систем на плоскости s и w*(s).
- •39. Математический аппарат z-преобразования.
- •40. Вычисление z-преобразований сигналов и соответствующих передаточных функций.
- •41. Описание дискретно-непрерывных систем с помощью передаточной функции w(z) и ф(z).
- •42. Построение годографа w(z).
- •43. Анализ устойчивости дискретно-непрерывных систем на плоскости z и w(z)
- •44. Билинейное преобразование. Понятие псевдочастотных характеристик.
- •45. Передаточные функции дискретно-непрерывных систем с экстраполятором нулевого порядка на плоскости w(̄s̄).
- •46. Вычисление переходного процесса в дискретные моменты времени с помощью вычетов.
- •47. Вычисление переходного процесса в дискретные моменты времени с помощью разложения сигнала y(z) в степенной ряд.
- •48. Вычисление переходного процесса в дискретные моменты времени с помощью разложения сигнала y(z)/z на простые дроби.
- •49. Вычисление переходного процесса в дискретные моменты времени с помощью разностного уравнения.
- •50. Построение дискретной модели системы в пространстве переменных состояния.
Пространство переменных состояний:
1. Уравнение Ляпунова для исследования устойчивой линейной системы.
Об устойчивости линейной системы можно судить, используя уравнение Ляпунова. Для его вывода мы обозначим функцию Ляпунова . Эта функция определена в окрестностях положения равновесия системы, в нуле она равна нулю. Функция Ляпунова убывает с течение времени, поэтому , вычисляем: , Q – положительно определенная матрица NxN. Чтобы нулевое решение автономной линейной системы было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы для производной положительно определенной матрицы Q существовала положительно определенная матрица P, удовлетворяющая уравнению Ляпунова. Уравнение Ляпунова для линейных систем: . Можно доказать, что Q симметрична Для удобства можно брать в качестве Q единичную матрицу.
2. Переходная матрица. Методы ее нахождения и ее свойства.
Переходная матрица позволяет отыскать решение в пространстве переменных состояний, начиная с некоторого значения до ∞. Она должна удовлетворять уравнениям:
, где E – единичная матрица.
Чтобы отыскать каким образом переходная матрица связана с , будем варьировать векторную переменную :
Дифференцируем систему: , сравниваем с уравнением в пространстве переменных состояний:
, домножим на обратную переходную матрицу :
Интегрируем это выражение: Так как при выполняется второе уравнение переходной матрицы, то . Получаем уравнение: . Обратная переходная матрица: . Решение системы в общем виде: , где . Для нахождения переходной матрицы требуется иметь матрицу , с ее помощью мы находим корни характеристического уравнения . Затем решаем n уравнений (где n – порядок системы), откуда узнаем матрицу .
Переходная матрица: , где , где – решения .
Второй способ нахождения переходной матрицы:
Для случая стационарных систем
, .
Применим преобразование Лапласа к диф. уравнению: . Следовательно,
Третий способ нахождения переходной матрицы: , где – элемент переходной матрицы, представляет собой описание переходного процесса по i-ой координате вектора состояния при заданных единичных начальных условиях на j-ую координату вектора состояний при остальных координатах равных нулю.
Свойства переходной матрицы:
- Переходная матрица полностью определена
- Переходная матрица является невырожденной
3. Решение линейной нестационарной системы в пространстве состояний.
Переходная матрица позволяет отыскать решение в пространстве переменных состояний, начиная с некоторого значения до ∞. Она должна удовлетворять уравнениям:
, где E – единичная матрица.
Чтобы отыскать каким образом переходная матрица связана с , будем варьировать векторную переменную :
Дифференцируем систему: , сравниваем с уравнением в пространстве переменных состояний:
, домножим на обратную переходную матрицу :
Интегрируем это выражение: Так как при выполняется второе уравнение переходной матрицы, то . Получаем уравнение: . Обратная переходная матрица: . Решение системы в общем виде: , где .