- •1. Ду первого порядка с разделяющимися переменными и однородные.
- •2. Линейные ду первого порядка. Уравнение Бернулли.
- •3. Ду в полных дифференциалах.
- •4. Уравнения допускающие понижение порядка.
- •5. Линейные однородные ду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •6. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •7. Линейные неоднородные ду с постоянными коэффициентами, теорема о структуре решений.
- •8. Метод вариации Лонгранжа.
- •9. Линейные неоднородные ду с правой частью специального вида.
- •10. Числовые ряды, частичная сумма, сходящиеся и расходящиеся ряды, геометрические ряды.
- •11. Свойства сходящихся рядов.
- •12. Необходимый признак сходимости ряда.
- •13. Гармонический ряд.
- •14. Признаки сравнения положительных рядов.
- •15. Признак Даламбера, радикальный признак Коши.
- •16. Интегральный признак Коши, обобщенный гармонический ряд.
- •17. Абсолютно и условно сходящиеся знакопеременные ряды.
- •18. Достаточный признак сходимости з.П.Р.
7. Линейные неоднородные ду с постоянными коэффициентами, теорема о структуре решений.
Такие уравнения имеют вид (1)
Теорема о структуре решения линейного неоднородного уравнения.
Если У – общее решение соответствующего однородного уравнения,
(2)
-некоторое частное решение неоднородного уравнения (1), то является общим решением уравнения (1).
Докажем теорему для линейного неоднородного уравнения второго порядка.
, где У - общее решение.
, - частное решение,
-решение уравнения
y=, ,
Т.к. У - общее решение, то первая скобка равна 0, т.к. – общее решение, то вторая скобка равна f(x).
Покажем, что входящие в решение произвольные постоянные можно выбрать так, чтобы были выполнены начальные условия
у(х0)=у0
х(у0)=х0
Каковы бы ни были числа х0, у0,
, где у1 и у2 ФСР однородного уравнения.
Это система линейных уравнений относительно с1 и с2 с определителем отличным от 0.
Т.к. определитель является определителем Вронского для функции у1 и у2, которые линейно не зависимы.
Полученная система является Крамеровской и всегда имеет единственное решение.
Теорема.
Если у1(х) – решение уравнения , у2(х) – решение уравнения
, то у=у1(х)+у2(х) – является решением уравнения.
Доказательство:
,
=
8. Метод вариации Лонгранжа.
(1)
Соответствующие однородные уравнения имеют общее решение
Y=c1y1+c2y2, тогда частное решение неоднородного уравнения
(2), тогда частное решение неоднородного уравнения
Пусть
Т.к. у1-решение уравнения и у2-решение этого же уравнения, то первая и вторая скобки равны 0.
Таким образом, для нахождения с1(х) и с2(х) получена система.
Полученная система является крамеровской, из этой системы и определяются однозначно проинтегрировав полученные функции найдем с1(х) и с2(х) и найдем частное решение неоднородного уравнения
9. Линейные неоднородные ду с правой частью специального вида.
, где a1, a2,…., an-const
или
Частное решение неоднородного уравнения будет иметь такой же вид как и правая часть только многочлен соответствующей степени будет полный и м.б. решение будет умножено на .
Пусть Qn(х) – полный многочлен степени n,
,
,
1. не является корнем соответствующего характеристического уравнения, то
γ - корень характеристического уравнения, кратности k
2.
-не корень характеристического уравнения.
-корень характеристического уравнения, кратности k, то
10. Числовые ряды, частичная сумма, сходящиеся и расходящиеся ряды, геометрические ряды.
а1, а2,.., аn, ...-последовательность,
а1+а2+...+an+…=
а1, а2, … -члены ряда.
Ряд считается заданным, если известен закон, по которому можно найти любой член ряда.
аn - общий член ряда.
Сумма первых n-членов ряда S= а1+а2+...+an и называется n-ой частичной суммой ряда, такой предел называют суммой ряда =S
Ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм ряда бесконечен или существует.
Предел последовательности четных частичных сумм будет равен 0, а предел последовательности нечетных частичных сумм равен 1, т.к. из последовательности частичных сумм выделены 2 сходящиеся и расходящиеся предела, то предел такой последовательности не существует, следовательно, ряд расходится.
Геометрическим рядом называется ряд, составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии.
Геометрический ряд сходится, если │q│<1 и расходится, если │q│>1