Лекция 7-8. Оптимизация на сетях и графах

Элементы теории графов. Основные понятия и определения

Теория графов - это область дискретной математики, особенностью которой является геометрический подход к изучению объектов. Теория графов находится сейчас в самом расцвете. Обычно её относят к топологии (потому что во многих случаях рассматриваются лишь топологические свойства графов), однако она пересекается со многими разделами теории множеств, комбинаторной математики, алгебры, геометрии, теории матриц, теории игр, математической логики и многих других математических дисциплин. Основной объект теории графов-граф и его обобщения.

Первые задачи теории графов были связаны с решением математических развлекательных задач и головоломок (задача о Кенигсбергских мостах, задача о расстановке ферзей на шахматной доске, задачи о перевозках, задача о кругосветном путешествии и другие). Одним из первых результатов в теории графов явился критерий существования обхода всех ребер графа без повторений, полученный Л. Эйлером при решении задачи о Кенигсбергских мостах. Вот пересказ отрывка из письма Эйлера от 13 марта 1736 году: ” Мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую перекинуто 7 мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост.

И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не смог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни алгебра, ни комбинаторное искусство. После долгих размышлений я нашел лёгкое правило, основанное на вполне убедительном доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или не может“.

Кенигсбергские мосты схематически можно изобразить так:

При изучении бинарных отношений под графом понималась схема, состоящая из точек – вершин графа, и связывающих эти точки попарно отрезков или дуг – ребер графа. Такая схема позволяет удобно и наглядно задавать бинарные отношения на конечном множестве. Однако помимо иллюстративных целей граф может служить удобной математической моделью при описании самых разнообразных объектов.

Например, графом может быть представлен план работ по реализации какого-либо проекта, при этом вершинами графа являются этапы работ, а ребра указывают последовательность выполнения этапов. С помощью такого графа удобно вычислять время реализации проекта, что достаточно непросто, если некоторые работы могут выполняться параллельно, а также резервы времени на каждом этапе.

В виде графа может быть представлена блок-схема программы: вершины – блоки, ребра – разрешенные переходы от одного блока к другому. Такое изображение позволяет найти кратчайший путь от одного блока к другому.

Представление графом сетей нефтепроводов, сетей связи, транспортных сетей позволяет рассчитывать их пропускную способность и выявлять "узкие места". Существует также множество логических и занимательных задач, решение которых предполагает использование графов.

Графом G называют пару множеств (V, E), где V – множество вершин графа (точек); E – семейство ребер графа (отрезков или дуг, соединяющих вершины в пары):

V={v₁,v₂,v₃,…,v_n};

E={e₁, e₂ , e₃,…,e_m };

e_i =(v_j,v_k) – i-е ребро графа G; v_j,v_k – концевые вершины этого ребра (i=1,2,3,…,m; v_j,k=1,2,…,n).

Пример графа:

То есть, элементы множества V называются вершинами графа. Элементы множества E  ребрами графа. Ребра вида (v,v), в которых первый элемент равен второму элементу, называются петлями. Или, если концевые вершины ребра совпадают, то ребро образует петлю (дугу, начало и конец которой совпадают).

Если пара (v₁,v₂)  E − ребро, то v₁ и v₂ называются концами этого ребра. В этом случае вершины v₁ и v₂ называются смежными в графе, а само ребро (v₁, v₂) называется инцидентным вершинам v₁ и v₂.

Пусть в графе есть ребро (v₁,v₂), тогда можно считать, что в нем есть ребро (v₂,v₁). Если при этом указанные ребра не различать (т. е. (v₁,v₂)= (v₂,v₁), пары считаются неупорядоченными), то граф называется неориентированным графом.

Если в графе есть несколько одинаковых ребер вида (v₁,v₂) , то такое ребро называют кратным.

В дальнейшем мы будем рассматривать неориентированные графы без кратных ребер и без петель. Таким образом, каждое ребро (v₁,v₂) может присутствовать в графе только один раз, и считаем, что ребер вида (v,v) в графе нет, ребра (v₁,v₂) и (v₂,v₁) совпадают. Такие графы называются простыми.

Графы можно изображать графически. Вершины изображаются точками, ребра изображаются линиями соединяющие соответствующие вершины.

Приведем пример графа, имеющего четыре вершины и восемь ребер, одно из которых – петля (e₈), приведен на рис. 6.1. Ребра e₄, e₅ кратные или параллельные друг другу, так же как и ребра e₆ и e₇ .

Фиксируем на плоскости произвольным образом п точек и произвольным образом дадим им в качестве имен имена вершин данного графа. В итоге на плоскости возникнут точки, обозначенные как . Затем для каждой пары точек таких, что , проведем отрезок прямой, соединяющий точки . В результате таких действий возникнет некоторый рисунок, который и называется геометрической интерпретацией графа. Заметим, что одному и тому же графу соответствует много рисунков, которые могут быть его геометрическими интерпретациями. Вот два рисунка, каждый из которых является геометрической интерпретацией графа, приведенного выше в качестве примера:

3

3

2 4 2 5 4

1 5 1

Рис.1 Рис.2

Число вершин графа называют порядком графа и обозначают V= n. Граф будем обозначать парой G = (V, E).

Число вершин графа называют порядком графа и обозначают V= n. Граф будем обозначать парой G = (V, E).

Граф G называется помеченным, если его вершинам приписаны числа 1, 2, …, п, где п − порядок графа.

Граф можно задать с помощью матрицы размера n x n: А(G)=[a_ij], где

эта матрица симметрична с нулями по главной диагонали. Она называется матрицей смежностей графа G = (V, E).

В приведенном выше примере графа матрица смежностей такова:

Сопоставим графу G = (V, E) еще одну матрицу. Будем считать, что - по-прежнему множество вершин и пусть - множество ребер. Определим матрицу размера n x p: B(G)=[b_ij], следующим образом:

Введенная так матрица B(G) называется матрицей инциденций данного графа. Очевидно, вид матрицы смежностей и вид матрицы инциденций существенно зависят от того, как именно занумерованы вершины и ребра. Если в приведенном выше примере графа считать, что

,

то матрица инциденций будет такой:

.

В каждом столбце матрицы инциденций всегда ровно две единицы, остальные элементы равны нулю. Если в графе все вершины имеют степень ноль, то матрицы инциденций - нулевая.

Ребра графа могут быть ориентированными или неориентированными. Граф на рис. 6.1 имеет неориентированные ребра. При изучении бинарных отношений были использованы графы, все ребра которых ориентированы. Такие графы называют ориентированными графами или орграфами.

Если вершины v_i и v_j (i≠j) соединены ребром e_k= (v_i,v_j), то их называют смежными вершинами. Если ребра e_k, e_l имеют общую вершину, то их называют смежными ребрами. Если вершина v_i является концом ребра e_j, то v_i называют вершиной, инцидентной ребру e_j, а e_j – ребром, инцидентным вершине v_i.

Степенью вершины графа называется число инцидентных ей ребер, (число вершин смежных этой вершине, число ребер выходящих из этой вершины, число ребер входящих в нее). Обозначают степень вершины v через deg (v).

Вершина называется изолированной, если её степень равна нулю, и называется концевой (висячей), если её степень равна единице. Вершина называется доминирующей, если она смежная со всеми вершинами графа.

Сумма степеней всех вершин графа есть четное число.

в любом графе число вершин с нечетными степенями четно.