20. Линейные операции над векторами и их свойства.

Определение: вектор - это направленный отрезок.

Будем обозначать вектор AB . А - начало вектора, В - конец вектора.- означает длина вектора (символ модуля).Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Определение: Два вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Определение: Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение: Пусть вектор AB и вектор A₁B₁ коллинеарны и пусть плоскость π пересекает прямые на которых они лежат. Плоскость π разбивает все пространство на два полупространство. Если перемещаясь по прямым в направление векторов AB и A₁B₁ мы попадем в одно полупространство(разные) то векторы AB и A₁B₁ называются одинаковонаправленными (противоположнонаправленными).

Определение: Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Два нулевых вектора считаются равными.

Из определения равенства векторов следует, что мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Иными словами, точка приложения вектора может быть произвольной. В соответствии с этим векторы в геометрии называются свободными.

Элементы множества могут находиться в некоторых отношениях между собой. Отношения между парами объектов называются бинарными (двойными). Примером бинарных отношений является равенство. Отношение равенства между векторами обладает следующими свойствами :

1) - рефлексивность.

2) - симметричность.

3) Если , то - транзитивность.

Бинарное отношение которое рефлексивно симметрично и транзитивно называется соотношением эквивалентности, таким образом отношение равенства векторов является отношением эквивалентности.

Линейными называются операции сложения и умножения вектора на число.

Сложение: Суммой двух векторов называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало приложено к концу вектора .

Правило построения суммы 2-х векторов называется правилом треугольника:

a,b-вектора

Правило параллелограмма : От точки А отложим и , построим параллелограмм, тогда вектор диагональ с началом в точке А является суммой и .

Определение: Произведение а на вещественное число  называется b удовлетворяющее следующему условию:

1)  = *

2)  

3)  ,если  >0

4)  ,если  <0

Cвойства линейных операций над векторами

1. (коммутативность).

Доказательство: Это свойство доказывается геометрическим построением.

Эти свойства позволяют оперировать с векторами так же как и с вещественными числами.

2. (ассоциативность).

Доказательство: Рассмотрим

(ч.т.д.)

По индукции может быть определена сумма любого числа векторов: a1+ a2+ a3+ a4= ((a1+ a2)+ a3)+ a4= (a1+ a2+ a3)+ a4= (a1+ (a2+ a3))+ a4= a1+ ((a2+ a3)+ a4)= a1+ (a2+ (a3+ a4))= (a1+ a2)+ (a3+ a4)

При этом в силу коммутативности можно произвольно менять порядок слагаемых, из сказанного вытекает следующее правило замыкающего вектора: Для того чтобы сложить n векторов нужно записать их в любом порядке. Приложить первый вектор к какой-нибудь точке О, а каждый следующий к концу предыдущего, тогда замыкающий вектор ОА_n и будет их суммой.

3. .

4. .

5.а=(а)

6. (+)а=а+а(дистрибутивность относительно сложения чисел)

7. (а+b)= а+b (дистрибутивность относительно сложения векторов)

8. 1*a=a