2. Оценивание параметров модели выбранной структуры.

Для оценивания параметров статических моделей и проверки их адекватности наибольшее распространение получили 2 метода:

1) регрессионный анализ;

2) корреляционный анализ.

Оба этих метода включают как задачу параметрического оценивания, связанную с нахождением значений коэффициентов модели выбранной структуры, так и определение соответствий этих моделей и экспериментальных данных. В качестве процедуры параметрического оценивания оба этих метода используют МНК. Но проверка соответствий модельных и экспериментальных данных в этих методах осуществляется различно. Эти различия вызваны тем, что области их применения различны. Это очень важно, т. к. во многих публикациях, в том числе и в учебной литературе, практически не объясняются различия между этими двумя способами. Их часто не различают, иногда называя корреляционно-регрессионным анализом, что методически неверно.

Эти 2 метода следует различать по области их применения. Регрессионный анализ рекомендуется использовать для отображения причинно-следственных связей, а корреляционный для равнозначных в смысле причинно-следственных связей воздействий.

у₁

₁

у₂

₂

Рис. 11

О.И.

(22)

(23)

(22) и (23) – зависимости, отражающие причинно-следственные связи объекта – оригинала.

Мы можем записать след. образом

у₁ = φ₁ (у₂) (24)

у₂ = φ₂ (у₁) (25)

В свою очередь зависимости (24) и (25) отражают взаимосвязь между одинаковыми в смысле причинно-следственных связей воздействиями . Эта связь в реальном объекте не является причинно-следственной; ее называют косвенной, опосредованной, т.к. она обусловлена одновременным влиянием входных воздействий на выходные воздействия . Причем эта связь не является однонаправленной и можно находить зависимости, как в виде (24), так и (25), так как здесь нет ни причин ни следствий. В то время как зависимость не имеет физического смысла. Практически зависимость вида (24) и (25) могут применяться при косвенных измерениях, когда один из факторов, например, доступен для измерения с высокой точностью, а измерить сложно или с большими затратами. В этом случае ставят эксперимент, оценивают зависимость вида (24) и расчетным путем зная, , оценивают . Такой способ называется косвенным измерением.

Сущность метода наименьших квадратов.

Это вычислительная процедура, используемая как в регрессионном, так и в корреляционном анализах, для определения значений коэффициентов заданной структуры модели. При этом структура модели должна быть линейно – параметрической.

Линейная зависимость – это такая зависимость, которая удовлетворяет принципу суперпозиции, которой можно применительно к модели объекта сформулировать следующим образом: принцип суперпозиции выполняется, если реакция модели объекта на суммарное входное воздействие (переменных) равна сумме реакций модели на отдельные составляющие этого входного воздействия.

у

М. О.

Рис.12

у = φ {}

= ₁ + ₂; у₁ = φ {₁}; у₂ = φ {₂}.

φ () = φ{₁} + φ{₂}

у = а_о + а₁ (26)

Выражение (26) – является линейной зависимостью не только по отношению к переменной , но и к параметрам а₁ и а_о.

Зависимость, которая является линейной по отношению к параметрам, называют линейно – параметрической.

ε_х: у = а_о + а₁ + а₂ ² (27)

Функция (27) является нелинейной к, но линейной к параметрам а₀, а₁, а₂.

В общем виде линейно – параметрическим является степнной полином:

К зависимостям другой структуры, например: у =Аsin B (28);

(29) метод наименьших квадратов не применим.

Для того чтобы найти значения коэффициентов для таких структур используется 2 способа.

1. Найти соответствующее преобразование с тем, чтобы привести её к линейно – параметрическому виду и затем использовать МНК.

2. Использовать другие методы определения параметров модели, если такое преобразование не находится. В частности можно использовать поисковые процедуры оптимизации. Либо разложить в ряд Тейлора и ограничиться конечным числом его составляющих.

При этом в первом случае мы используем результаты аналитического решения для определения параметров, а во втором – приближенный метод решения.

С помощью МНК находят наилучшие оптимальные оценки параметров линейно – параметрической структуры в смысле среднеквадратичного критерия близости расчетных и экспериментальных данных. Другими словами, МНК есть результат решения оптимизационной задачи, когда модель имеет линейно – параметрическую структуру, а среднеквадратичный критерий представлен в виде:

(30)

В выражение (30) вместо записывается в общем виде линейно- параметрическая структура модели (для простоты ограничимся полиномом порядка).

(31)

Для того, чтобы решить ур. (31) для параметров и , необходимо взять производные от остаточной дисперсии по параметрам и и приравнять их к 0. Получим следующую систему уравнений.

Такой вывод справедлив, если выполняются все предпосылки МНК. Перечислим их: 1) критерий точности модели является среднеквадратическим; 2) структура модели должна быть линейно параметрической, т.е. линейной относительно ее параметров; 3) учитываемые факторы (входные переменные) должны быть независимы друг от друга, т.е. корреляционный момент между ними должен быть равен 0; 4) входные переменные должны измеряться без ошибок и должны быть управляемыми, т.е. принимать любые значения, установленные исследователем; 5) выходная зависимая переменная может иметь ошибку реализации и эта ошибка должна быть хорошо описанной нормальным законом распределения вероятности; 6) эффекты влияния прочих (неучитываемых) моделью факторов; так же можно представить в виде случайной величины с нормальным законом распределения вероятности; 7) учитываемые факторы и эффект неучитываемых факторов должны быть независимыми, т.е. , где - входные переменные; эффект влияния прочих факторов.

Нарушение этих условий будет приводить к уменьшению эффективности модели к увеличению ошибки модели. Не все эти отмеченные условия одинаково влияют на точность модели. Наиболее сильные нарушения (часто выражающиеся на практике связаны с 7 предположением), когда используются данные при построении модели объекта управления.

Суть МНК можно пояснить на графике:

υ_i

υ

Рис.13

С помощью МНК находят такие значения коэффициентов, при которых зависимость выбранной структуры (её кривая) так располагается среди поля экспериментальных точек, что сумма среднеквадратичных отклонений δy_i² является минимальной, и при любом другом положении этой кривой среднеквадратичное значение ошибки будет возрастать.

Одним из видов математической модели, применяемых в инженерной практике моделирования, является пересчетная математическая модель. Она используется в так называемых натурно – модельных блоках, которые представляют собой композицию натурных и математических составляющих.

Натурно – модельный блок представляет собой натурно – математическую модель оригинала, например, действующего объекта или системы управления в целом. При этом натурная часть представлена в виде информационного отображения оригинала. Под информационным отображением натурного объекта и системы управления будем понимать совокупность взаимосвязанных между собой и упорядоченных во времени реализаций входных, выходных воздействий и переменных состояния, зафиксированных в действующей системе контроля.

Пример:

И. О.

(О.У.)

У. С.

Рис.14

Если исследуемый объект является частью системы управления (объектом управления), то его входные воздействия V представляются состоящими из двух принципиально различных классов выходных воздействий В свою очередь

U(t) – управляющие воздействия, вырабатываемые в управляющей системе У.С. с целью реализации заданной траектории Y*(t).

W(t) – контролируемые внешние воздействия, которые отражают известное взаимодействие объекта с окружающей средой.

Y(t) – выходные воздействия объекта и системы управления. Они характеризуют реакцию объекта на изменение входных (управляющих (U(t)) и внешних (контролируемых (Wк(t)) и неконтролируемых (Wн(t))) воздействий.

Будем считать, что результаты функционирования действующей системы контроля этого объекта представлены в графической форме:

Wк(t)

t

U(t)

Y

Y(t)

t

Рис.15

W (t), t Є [t₀; t₁] – реализация W(t) на интервале времени [t₀; t₁].

W (t), U(t), Y(t) при t Є [t₀; t₁] – информационное отображение объекта на интервале времени [t₀; t₁].

Соединение натурных и математических составляющих натурно – модельных блоков осуществляется с помощью специального типа математических моделей, которые называются пересчетными математическими моделями. Рассмотрим структуру такой модели:

V^н(t)

Y^н(t)

+

-

δV(t)

φ {·}

δу(t)

Y^м(t)

+

V^м(t)

+

пересчетная математическая модель

алгоритм расчета

Рис.16

То, что изображено на схеме запишем в общем виде:

Y^м (t) = Y^н (t) + δy (t)

δy (t) = φ {δV (t)}

δV (t) = V^м (t) - V^н (t)

V^н (t) и Y^н (t) – измеренные значения натурных входных и выходных воздействий, полученных с помощью действующей системы контроля. Они и составляют информационное отображение объекта.

В пересчетной модели φ{·} – есть оператор в приращениях. Представляет собой математическую модель, которая связывает приращения (отклонение, вариации) входных воздействий с приращениями выходных воздействий. И этот оператор «работает» и соответственно является работоспособным в небольшом диапазоне отклонений входных и выходных воздействий, и поэтому по своей структуре он существенно проще, чем соответствующие операторы математической модели, адекватные в большем диапазоне изменения этих воздействий.

Таким образом, пересчетная модель отвечает на вопрос: «Что было бы на выходе объекта – оригинала, если бы при прочих равных условиях функционирования его входные воздействия изменились бы в некотором небольшом диапазоне?».

Достоинства пересчетных моделей.

1. Оператор по каналам преобразования отклонений входных воздействий в отклонения выходных по своей структуре является более простым.

2. Для отображения свойств и условий функционирования объекта – оригинала нет необходимости строить математические модели изменения внешних контролируемых воздействий, отображающих взаимодействие объекта с окружающей средой.

3. Выходные воздействия Y^н (t) содержат в себе не только эффекты изменений контролируемых, но и эффекты неконтролируемых воздействий

4. Нет необходимости также строить модели измерительных и исполнительных блоков, т. к. ошибки измерения и исполнения команд управления непосредственно содержатся в информационном отображении объекта.